北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．已知 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle u=0$ 附近满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leq u^{2}$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾可微的定义
函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，意味着存在常数 $A,B$（即偏导数），使得当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，有
$$f(x,y)-f(0,0)-Ax-By = o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right).$$
公式：$$f(x,y)-f(0,0)-Ax-By = o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$
提示：注意 $f(0,0)=\varphi(0)=0$，因此我们只需验证 $f(x,y)$ 与线性逼近的差是比 $\sqrt{x^2+y^2}$ 更高阶的无穷小。
步骤 2/6
目标：计算偏导数在原点处的值
计算 $f_x(0,0)$：
$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(|h\cdot 0|)-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(0)}{h}=0.$$
同理，$f_y(0,0)=0$。因此 $A=0,B=0$。
公式：$$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$$
提示：由于 $|xy|$ 在 $x=0$ 或 $y=0$ 时为零，而 $\varphi(0)=0$，所以偏导数自然为零。
步骤 3/6
目标：将可微条件转化为极限形式
由可微定义，我们只需验证：
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0-0\cdot x-0\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,$$
即
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\varphi(|xy|)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.$$
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\varphi(|xy|)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$$
提示：这是证明的核心，需要利用已知不等式对分子进行放缩。
步骤 4/6
目标：利用已知不等式放缩分子
由条件，在 $u=0$ 附近有 $|\varphi(u)|\le u^2$，因此当 $(x,y)$ 充分接近 $(0,0)$ 时，$|xy|$ 很小，故有
$$|\varphi(|xy|)|\le (|xy|)^2 = x^2 y^2.$$
于是
$$\left|\frac{\varphi(|xy|)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$
公式：$$|\varphi(|xy|)|\le x^2 y^2$$
提示：注意 $|xy|$ 是 $u$，$u^2 = (|xy|)^2 = x^2 y^2$，不要误写为 $x^2+y^2$。
步骤 5/6
目标：进一步放缩并证明极限为零
由均值不等式 $2|xy|\le x^2+y^2$，两边平方得 $4x^2 y^2\le (x^2+y^2)^2$，即
$$x^2 y^2 \le \frac{(x^2+y^2)^2}{4}.$$
因此
$$\frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{(x^2+y^2)^2}{4\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{(x^2+y^2)^{3/2}}{4}.$$
当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$(x^2+y^2)^{3/2}\to 0$，故由夹逼定理得
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\varphi(|xy|)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.$$
公式：$$\frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{(x^2+y^2)^{3/2}}{4}$$
提示：夹逼定理的使用条件是左右极限均为0，这里右边趋于0，左边绝对值非负，因此极限为0。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于极限为0，满足可微定义，因此函数 $f(x,y)=\varphi(|xy|)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
提示：本题的关键是利用 $|\varphi(u)|\le u^2$ 将问题转化为估计 $\frac{x^2 y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 的极限。
步骤 7/7
目标：取极限得出结论
当 $(h,k)\to(0,0)$ 时，$(h^2+k^2)^{3/2}\to0$，故 $\frac{1}{4}(h^2+k^2)^{3/2}\to0$。由夹逼定理，$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\varphi(|hk|)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。因此 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微。
公式：夹逼定理
提示：注意极限为0，满足可微定义。
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