北京科技大学 2026年数学分析第0题

由于积分区间为 \([0, +\infty)\)，可能的瑕点为 \(x=0\) 和无穷远点，因此将积分拆分为 \(\int_0^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx = \int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx + \int_1^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx\)，分别讨论其收敛性。

当 \(x \to 0^+\) 时，分母 \(1+x \sim 1\)，因此被积函数 \(\frac{x^{p-1}}{1+x} \sim x^{p-1}\)。积分 \(\int_0^1 x^{p-1} \, dx\) 在 \(p-1 > -1\) 即 \(p > 0\) 时收敛，在 \(p \leq 0\) 时发散。故 \(\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx\) 收敛当且仅当 \(p > 0\)。

当 \(x \to +\infty\) 时，分母 \(1+x \sim x\)，因此被积函数 \(\frac{x^{p-1}}{1+x} \sim \frac{x^{p-1}}{x} = x^{p-2}\)。积分 \(\int_1^{+\infty} x^{p-2} \, dx\) 在 \(p-2 < -1\) 即 \(p < 1\) 时收敛，在 \(p \geq 1\) 时发散。故 \(\int_1^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx\) 收敛当且仅当 \(p < 1\)。

整个积分收敛当且仅当两段积分都收敛，即同时满足 \(p > 0\) 和 \(p < 1\)，因此收敛区间为 \(0 < p < 1\)。当 \(p \leq 0\) 时，积分在0附近发散；当 \(p \geq 1\) 时，积分在无穷远处发散（边界点 \(p=1\) 时，无穷远处为 \(\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x}\) 发散）。

因此，反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx\) 在 \(0 < p < 1\) 时收敛，在 \(p \leq 0\) 或 \(p \geq 1\) 时发散。

积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx$ 当 $0 < p < 1$ 时收敛，当 $p \le 0$ 或 $p \ge 1$ 时发散。