北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$（ $A$ 为常数），证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与待证结论
已知函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续可微，且 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = A$（$A$ 为常数）。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = A$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = A$
提示：注意连续可微意味着导数存在且连续，这是使用拉格朗日中值定理的前提。
步骤 2/7
目标：利用导数极限定义给出估计
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，由 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = A$ 可知，存在 $M > 0$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f'(x) - A| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists M > 0, \forall x > M: |f'(x) - A| < \varepsilon$
提示：这里 $M$ 的选取只依赖于 $\varepsilon$，后续步骤中 $M$ 固定。
步骤 3/7
目标：应用拉格朗日中值定理建立联系
对于任意 $x > M$，考虑区间 $[M, x]$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (M, x)$，使得 $f(x) - f(M) = f'(\xi)(x - M)$。
公式：$f(x) - f(M) = f'(\xi)(x - M), \quad \xi \in (M, x)$
提示：中值点 $\xi$ 依赖于 $x$，且满足 $\xi > M$，因此 $|f'(\xi) - A| < \varepsilon$。
步骤 4/7
目标：将待证表达式变形
由上式可得 $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(M)}{x} + \frac{f'(\xi)(x - M)}{x} = \frac{f(M)}{x} + f'(\xi)\left(1 - \frac{M}{x}\right)$。
公式：$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(M)}{x} + f'(\xi)\left(1 - \frac{M}{x}\right)$
提示：将 $\frac{x-M}{x}$ 拆分为 $1 - \frac{M}{x}$ 是为了后续与 $A$ 作差时便于分组估计。
步骤 5/7
目标：与目标极限作差并分组
考虑差值：$\frac{f(x)}{x} - A = \frac{f(M)}{x} + f'(\xi)\left(1 - \frac{M}{x}\right) - A = \left[\frac{f(M)}{x} - \frac{M}{x} f'(\xi)\right] + \left[f'(\xi) - A\right]$。
公式：$\frac{f(x)}{x} - A = \left(\frac{f(M)}{x} - \frac{M}{x} f'(\xi)\right) + (f'(\xi) - A)$
提示：分组后，第一项当 $x \to +\infty$ 时趋于 $0$，第二项可由导数极限条件控制。
步骤 6/7
目标：逐项估计并利用极限定义
由于 $\xi > M$，有 $|f'(\xi) - A| < \varepsilon$。又因为 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(M)}{x} = 0$，且 $f'(\xi)$ 在 $x > M$ 时有界（因为趋于 $A$），所以 $\lim_{x \to +\infty} \frac{M}{x} f'(\xi) = 0$。因此存在 $X > M$，使得当 $x > X$ 时，$\left|\frac{f(M)}{x} - \frac{M}{x} f'(\xi)\right| < \varepsilon$。于是 $\left|\frac{f(x)}{x} - A\right| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$。
公式：$\left|\frac{f(x)}{x} - A\right| \leq \left|\frac{f(M)}{x} - \frac{M}{x} f'(\xi)\right| + |f'(\xi) - A| < 2\varepsilon$
提示：这里 $2\varepsilon$ 可以换回 $\varepsilon$，因为 $\varepsilon$ 是任意正数，由极限定义即得结论。
步骤 7/7
目标：得出结论
由极限定义，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = A$，证毕。
公式：$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=A}$
提示：本题是“导数极限定理”的一个推论，常用于处理函数增长率的渐近行为。
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