北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} a^{n}}{n \ln \left(n^{2}+n\right)} x^{2 n-1}$ 的收玫域，其中 $\displaystyle a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：整理通项形式
令 $u_n(x) = \frac{(-1)^{n} a^{n}}{n \ln(n^2+n)} x^{2n-1}$。将 $x^{2n-1}$ 改写为 $x^{-1} (x^2)^n$，得到 $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x} \cdot \frac{(a x^2)^n}{n \ln(n^2+n)}$。这样，级数的收敛性主要由 $\sum \frac{(a x^2)^n}{n \ln(n^2+n)}$ 决定。
公式：u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x} \cdot \frac{(a x^2)^n}{n \ln(n^2+n)}
提示：注意 $x=0$ 时需单独考虑，但此处先处理 $x \neq 0$ 的情况。
步骤 2/5
目标：用根值法求收敛半径
计算 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n(x)|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{a^n |x|^{2n-1}}{n \ln(n^2+n)}} = |x|^2 a \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n \ln(n^2+n)}}$。由于 $\sqrt[n]{n} \to 1$，$\sqrt[n]{\ln(n^2+n)} \to 1$，所以极限为 $|x|^2 a$。由根值法，当 $|x|^2 a < 1$ 时绝对收敛，即 $|x| < \frac{1}{\sqrt{a}}$；当 $|x| > \frac{1}{\sqrt{a}}$ 时发散。
公式：\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n(x)|} = a |x|^2
提示：根值法适用于通项含幂次的情况，注意 $x^{2n-1}$ 的指数处理。
步骤 3/5
目标：检查边界点 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$
代入 $x^2 = \frac{1}{a}$，则 $u_n = \frac{(-1)^n a^n (1/a)^n}{n \ln(n^2+n)} x^{-1} = \frac{(-1)^n}{x} \cdot \frac{1}{n \ln(n^2+n)}$。级数化为常数倍的交错级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n \ln(n^2+n)}$。当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{n \ln(n^2+n)} \sim \frac{1}{2n \ln n}$ 单调递减趋于 $0$，由莱布尼茨判别法知该交错级数收敛。因此 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$ 处级数收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n \ln(n^2+n)} \quad \text{收敛}
提示：边界点需单独验证，注意交错级数判别法的条件：通项绝对值单调递减趋于0。
步骤 4/5
目标：考虑 $x=0$ 的情况
当 $x=0$ 时，级数第一项 $n=1$ 中 $x^{1}=0$，故所有项均为 $0$，级数显然收敛。由于 $0$ 在区间 $(-\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}})$ 内，不影响收敛域。
公式：x=0 \Rightarrow \sum = 0
提示：幂级数在 $x=0$ 处总是收敛的，但需确认是否在收敛区间内。
步骤 5/5
目标：综合得出收敛域
由根值法得收敛半径 $R = \frac{1}{\sqrt{a}}$，且边界点 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$ 均收敛，因此收敛域为闭区间 $\left[-\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}}\right]$。
公式：\text{收敛域} = \left[-\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a}}\right]
提示：最终答案需包含边界点，注意 $a>0$ 的条件。
步骤 6/6
目标：总结收敛域
由根值法得开区间 $(-1/\sqrt{a}, 1/\sqrt{a})$ 内绝对收敛，端点处交错级数收敛，故收敛域为闭区间 $[-1/\sqrt{a}, 1/\sqrt{a}]$。
公式：$\left[-\frac{1}{\sqrt{a}},\ \frac{1}{\sqrt{a}}\right]$
提示：注意 $a>0$，$1/\sqrt{a}$ 为正数。
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