华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确命题含义
题目给出的命题是：如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 沿任意方向的方向导数都存在，那么偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$ 均存在。我们需要判断这个命题是否正确。
提示：注意这是一个充分性判断，不是双向等价。
步骤 2/5
目标：回顾方向导数的定义
方向导数定义为：设方向 $\mathbf{l}$ 的单位方向向量为 $(\cos\theta,\sin\theta)$，则函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 沿方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数为
\[
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cos\theta,y_0+t\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{t}
\]
当此极限存在时，称方向导数存在。
公式：\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\cos\theta,y_0+t\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{t}
提示：方向导数定义中的方向向量必须是单位向量，$t$ 可正可负。
步骤 3/5
目标：回顾偏导数的定义
偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 是函数沿 $x$ 轴正方向（即 $\theta=0$）的方向导数，具体定义为
\[
f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}
\]
类似地，$f_y(x_0,y_0)$ 是沿 $y$ 轴正方向（即 $\theta=\pi/2$）的方向导数，定义为
\[
f_y(x_0,y_0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}
\]
公式：f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},\quad f_y(x_0,y_0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}
提示：偏导数本质上就是沿坐标轴正方向的方向导数。
步骤 4/5
目标：建立方向导数与偏导数的联系
由于题目假设 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 沿任意方向的方向导数都存在，那么特别地，取 $\theta=0$（即沿 $x$ 轴正方向）和 $\theta=\pi/2$（即沿 $y$ 轴正方向），对应的方向导数必然存在。而这两个方向导数恰好就是偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$。因此，由任意方向方向导数存在可直接推出两个偏导数存在。
提示：注意：方向导数定义中 $t$ 趋于0时包含从正负两个方向趋近，而偏导数定义中的 $h$ 和 $k$ 也是从正负两个方向趋近，因此两者完全对应。
步骤 5/5
目标：给出结论
因此，原命题是正确的：若函数在一点处沿任意方向的方向导数都存在，则偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$ 均存在。
提示：注意：这个命题的逆命题不成立，即偏导数存在不能保证所有方向的方向导数都存在，这是常见的易错点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。