华东师范大学 2016年数学分析第0题

已知函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，且当 $x \to +\infty$ 时，$f(x)$ 以 $y = cx + d$ 为渐近线，即 $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (cx + d)] = 0$。需要证明 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。

函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。对于无穷区间，难点在于当两点都很大时，函数的变化是否可控。

由于渐近线是直线，我们将区间 $[a, +\infty)$ 分为两部分：有限闭区间 $[a, M]$ 和无穷区间 $[M, +\infty)$。在有限闭区间上，连续函数一致连续；在无穷区间上，利用渐近线条件控制函数值的变化。

由渐近线定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，当 $x > X$ 时，$|f(x) - (cx + d)| < \frac{\varepsilon}{3}$。取 $M = X$，考虑任意 $x_1, x_2 > X$，则 $$ |f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x_1) - (c x_1 + d)| + |c x_1 + d - (c x_2 + d)| + |(c x_2 + d) - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3} + |c| \cdot |x_1 - x_2| + \frac{\varepsilon}{3}. $$ 令 $\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3(|c|+1)}$（若 $c=0$，则取 $\delta_1 = \frac{\varepsilon}{3}$），则当 $|x_1 - x_2| < \delta_1$ 时，$|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。因此 $f$ 在 $[X, +\infty)$ 上一致连续。

在闭区间 $[a, X+1]$ 上，函数 $f$ 连续，因此一致连续。即对上述 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, X+1]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta_2$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。

取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。现在验证对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，若 $|x_1 - x_2| < \delta$，则 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。分三种情况： - 若 $x_1, x_2 \in [a, X+1]$，由 $\delta_2$ 保证。 - 若 $x_1, x_2 \in [X, +\infty)$，由 $\delta_1$ 保证。 - 若 $x_1 \in [a, X]$，$x_2 \in [X+1, +\infty)$，则 $|x_1 - x_2| \geq 1$，而 $\delta \leq 1$，故这种情况不会出现。 - 若 $x_1 \in [a, X]$，$x_2 \in [X, X+1]$，则两点均属于 $[a, X+1]$，由 $\delta_2$ 保证。 因此，$f$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。

综上，函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。证明的关键是将无穷区间分解为有限闭区间和渐近线控制的无穷区间，分别利用闭区间上连续函数的一致连续性和渐近线条件得到一致连续性，再通过选取公共的 $\delta$ 合并。

综上所述，函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续，原命题成立。