华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
4．如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，即部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ 当 $N \to \infty$ 时存在极限。另外，数列 $\{b_n\}$ 满足 $\lim_{n \to \infty} b_n = 1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，$\lim_{n\to\infty} b_n = 1$
提示：注意收敛级数的性质，以及极限为1的含义。
步骤 2/5
目标：将待判断级数变形
考虑 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$，将其改写为 $a_n b_n = a_n + a_n(b_n-1)$，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} a_n(b_n-1)$。已知第一部分收敛，问题转化为判断第二部分 $\sum a_n(b_n-1)$ 是否收敛。
公式：$a_n b_n = a_n + a_n(b_n-1)$
提示：这种分解是分析乘积级数收敛性的常用技巧。
步骤 3/5
目标：分析第二部分收敛性
由于 $\lim_{n\to\infty} (b_n-1)=0$，$b_n-1$ 是趋于零的数列。但一个收敛级数乘以一个趋于零的数列，所得级数不一定收敛。例如，若 $a_n$ 条件收敛，而 $b_n-1$ 的符号和大小配合不当，可能导致发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} (b_n-1)=0$
提示：注意：趋于零的数列乘以收敛级数不能保证新级数收敛，这是常见误区。
步骤 4/5
目标：构造反例
取 $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum a_n$ 是交错级数，由莱布尼茨判别法知收敛（条件收敛）。取 $b_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，显然 $\lim b_n = 1$。计算 $a_n b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \left(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$。于是 $\sum a_n b_n = \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \sum \frac{1}{n}$，第一部分收敛，第二部分是调和级数发散，因此整体发散。
公式：$a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, \quad b_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, \quad a_n b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$
提示：反例中利用了条件收敛级数与调和级数的发散性，注意验证 $b_n$ 极限为1。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于存在反例使得 $\sum a_n b_n$ 发散，因此原命题不成立，即不能保证 $\sum a_n b_n$ 收敛。
提示：结论：该命题错误，不一定收敛。
步骤 6/7
目标：判断 $\sum a_n b_n$ 的收敛性
$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 收敛，$\sum \frac{1}{n}$ 发散，因此它们的和 $\sum a_n b_n$ 发散。
公式：收敛级数 + 发散级数 = 发散级数
提示：两个级数相加，若一个收敛一个发散，则结果发散。
步骤 7/7
目标：得出结论
原命题不成立，即 $\sum a_n$ 收敛且 $\lim b_n = 1$ 不能保证 $\sum a_n b_n$ 收敛。反例如上所示。
公式：反例：$a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}, b_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
提示：该反例说明条件收敛级数对乘数敏感，需谨慎处理。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。