华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
5．如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上无第二类间断点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确原函数与第二类间断点的定义
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数 $F(x)$，即 $F'(x)=f(x)$ 对一切 $x\in I$ 成立。第二类间断点是指函数在该点的左、右极限至少有一个不存在（包括极限为无穷大）。
公式：$F'(x)=f(x)$
提示：注意原函数 $F$ 在 $I$ 上可导，因此 $F$ 在 $I$ 上连续。
步骤 2/5
目标：假设存在第二类间断点，并利用导数定义
假设 $x_0\in I$ 是 $f$ 的第二类间断点，不妨设右极限不存在。由导数定义：
$$
f(x_0)=F'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}.
$$
因此当 $x\to x_0^+$ 时，差商 $\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$ 趋于有限值 $f(x_0)$。
公式：$\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)$
提示：差商趋于有限值意味着在 $x_0$ 附近差商有界。
步骤 3/5
目标：应用拉格朗日中值定理建立联系
对任意 $x\neq x_0$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x$ 与 $x_0$ 之间的 $\xi_x$，使得
$$
\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=F'(\xi_x)=f(\xi_x).
$$
当 $x\to x_0^+$ 时，$\xi_x\to x_0^+$。
公式：$\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(\xi_x)$
提示：$\xi_x$ 依赖于 $x$，且 $\xi_x$ 严格介于 $x$ 和 $x_0$ 之间。
步骤 4/5
目标：导出矛盾
由于 $x_0$ 是第二类间断点，右极限不存在，则存在序列 $x_n\to x_0^+$ 使得 $f(x_n)$ 不收敛或趋于无穷。但由中值定理，$f(\xi_{x_n})$ 等于差商，而差商趋于有限值 $f(x_0)$，因此 $f(\xi_{x_n})$ 也必须趋于 $f(x_0)$。这与 $f$ 在 $x_0$ 右侧无极限（或无穷大）矛盾。
公式：无
提示：注意 $\xi_{x_n}$ 也趋于 $x_0^+$，因此 $f(\xi_{x_n})$ 的极限行为应与 $f$ 在 $x_0$ 右侧的极限行为一致。
步骤 5/5
目标：结论
因此假设不成立，$f$ 在 $I$ 上不可能有第二类间断点。
公式：无
提示：该结论是导函数性质的重要推论，常用于判断函数是否存在原函数。
步骤 6/6
目标：得出结论
反证假设导致矛盾，因此 $f$ 在 $I$ 上不可能有第二类间断点。注意：该结论并不排除第一类间断点，但由达布定理可知，导函数实际上也不能有跳跃间断点（可去间断点也可能被排除，但本题只要求证明无第二类间断点）。
公式：无
提示：本题结论是原函数存在的必要条件，常用于判断函数是否可能存在原函数。
步骤 7/7
目标：结论
由反证法，假设不成立，因此 $f(x)$ 在区间 $I$ 上不可能有第二类间断点。原命题得证。
提示：注意：导函数可以有第一类间断点吗？达布定理实际上也排除了第一类间断点（因为介值性要求左右极限相等），但本题只要求证明无第二类间断点。
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