华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
12．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$\forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ．证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件并构造点列
由题设，对任意 $x \in [a,b]$，存在 $y \in [a,b]$ 使得 $|f(y)| \le \frac12 |f(x)|$。取 $x_0 \in [a,b]$，则存在 $x_1 \in [a,b]$ 满足 $|f(x_1)| \le \frac12 |f(x_0)|$。重复此过程，可构造点列 $\{x_n\} \subset [a,b]$ 使得 $|f(x_n)| \le \frac{1}{2^n} |f(x_0)|$。
公式：|f(x_n)| \le \frac{1}{2^n} |f(x_0)|
提示：注意每次应用条件时，$y$ 可能依赖于 $x$，但保证存在性即可，无需显式构造。
步骤 2/4
目标：利用致密性定理找收敛子列
由于 $\{x_n\}$ 是有界数列（均在 $[a,b]$ 内），由 Bolzano–Weierstrass 定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $\xi \in [a,b]$。
公式：\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \xi \in [a,b]
提示：闭区间上任何有界数列必有收敛子列，这是实数完备性的重要推论。
步骤 3/4
目标：利用连续性得到函数值为零
因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f(\xi) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k})$。由构造知 $|f(x_{n_k})| \le \frac{1}{2^{n_k}} |f(x_0)| \to 0$（当 $k \to \infty$），故 $|f(\xi)| = \lim_{k \to \infty} |f(x_{n_k})| = 0$，即 $f(\xi)=0$。
公式：|f(x_{n_k})| \le \frac{1}{2^{n_k}} |f(x_0)| \to 0 \quad (k \to \infty)
提示：连续性保证了极限与函数值可交换，注意绝对值函数的连续性。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi)=0$，证毕。
公式：f(\xi)=0
提示：结论直接由极限为零和连续性得出，无需额外条件。
步骤 5/5
目标：得出零点存在的结论
由第3步和第4步，$f(\xi) = \lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = 0$，因此存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi)=0$。
公式：f(\xi)=0
提示：结论直接由极限的唯一性得到，无需额外条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。