华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
13．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义，当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，又 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上存在且一致连续，试证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限存在性得到函数值趋于稳定
由 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) 存在，根据柯西收敛准则，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M > a\)，使得当 \(x, y > M\) 时，有 \(|f(x) - f(y)| < \varepsilon\)。特别地，取 \(y = x+1\)，则当 \(x > M\) 时，有 \(|f(x+1) - f(x)| < \varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists M>a, \forall x>M: |f(x+1)-f(x)|<\varepsilon
提示：注意柯西收敛准则的使用条件，这里取 y=x+1 是为了后续应用拉格朗日中值定理。
步骤 2/4
目标：用微分中值定理联系导数值
由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi_x \in (x, x+1)\)，使得 \(f(x+1) - f(x) = f'(\xi_x)\)。于是当 \(x > M\) 时，有 \(|f'(\xi_x)| < \varepsilon\)。这里 \(\xi_x\) 随着 \(x\) 增大而趋于无穷，因此我们得到：存在一个趋于无穷的点列 \(\{\xi_n\}\)，使得 \(f'(\xi_n) \to 0\)。
公式：f(x+1)-f(x)=f'(\xi_x), \quad \xi_x\in(x,x+1)
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里 f 在 [x,x+1] 上满足条件。
步骤 3/4
目标：利用一致连续性将点列上的收敛推广到整个无穷远（反证法）
已知 \(f'(x)\) 在 \((a,+\infty)\) 上一致连续，即对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(|x-y|<\delta\) 时，有 \(|f'(x)-f'(y)|<\varepsilon\)。
假设 \(\lim_{x\to+\infty} f'(x) \neq 0\)，则存在 \(\varepsilon_0>0\)，使得对任意大的 \(X\)，都存在 \(x>X\) 满足 \(|f'(x)| \ge \varepsilon_0\)。取一致连续性中的 \(\delta\) 对应 \(\varepsilon_0/2\)，则对于这样的 \(x\)，在区间 \((x-\delta, x+\delta)\) 内任一点 \(y\)，有 \(|f'(y)| \ge |f'(x)| - |f'(x)-f'(y)| \ge \varepsilon_0 - \varepsilon_0/2 = \varepsilon_0/2\)。
但由第二步，存在趋于无穷的点列 \(\{\xi_n\}\) 使得 \(f'(\xi_n) \to 0\)。当 \(n\) 充分大时，\(\xi_n\) 会落在上述区间内（因为 \(x\) 可以任意大，而 \(\xi_n\) 也趋于无穷，我们可以选取 \(x\) 充分接近某个 \(\xi_n\)），此时 \(|f'(\xi_n)| < \varepsilon_0/2\)，与 \(|f'(y)| \ge \varepsilon_0/2\) 矛盾。因此假设不成立，故对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(X\) 使得当 \(x>X\) 时 \(|f'(x)|<\varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y: |x-y|<\delta \Rightarrow |f'(x)-f'(y)|<\varepsilon
提示：反证法是一致连续性证明的常用技巧，注意要利用点列 \(\xi_n\) 的极限为0这一事实。
步骤 4/4
目标：得出结论
由反证法可知，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(X\) 使得当 \(x>X\) 时 \(|f'(x)|<\varepsilon\)，即 \(\lim_{x\to+\infty} f'(x) = 0\)。
公式：\lim_{x\to+\infty} f'(x)=0
提示：最终结论要明确写出极限为0。
步骤 5/5
目标：导出矛盾并得出结论
由步骤1，当 $x_n > M_1$ 时，应有 $|f(x_n+\delta) - f(x_n)| < \frac{\varepsilon_0 \delta}{4}$。但由步骤4，$f(x_n+\delta) - f(x_n) \ge \frac{\varepsilon_0 \delta}{2} > \frac{\varepsilon_0 \delta}{4}$，两者矛盾。因此假设不成立，故 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。
公式：\frac{\varepsilon_0\delta}{2} > \frac{\varepsilon_0\delta}{4} \text{ 与 } |f(x_n+\delta)-f(x_n)| < \frac{\varepsilon_0\delta}{4} \text{ 矛盾}
提示：矛盾的核心在于：极限存在迫使函数值最终变化任意小，而导数的正下界却迫使函数值有固定大小的增长。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$
提示：极限定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X$，当 $x>X$ 时 $|f'(x)|<2\varepsilon$，即极限为0。
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