华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
15．设函数 $f(x)$ 在 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}\right\}$ 上连续，$S=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}\right\}$ ，证明：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega(t)} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与设定函数
定义函数 $F(t) = \iiint_{\Omega(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V$，其中 $\Omega(t) = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leqslant t^2\}$ 是半径为 $t$ 的球体，$f$ 在 $\Omega(t)$ 上连续。需要证明 $F'(t) = \iint_{S(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S$，其中 $S(t)$ 是半径为 $t$ 的球面。
公式：F(t) = \iiint_{\Omega(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V
提示：注意 $t > 0$，且 $f$ 的连续性保证积分可导。
步骤 2/5
目标：采用球坐标变换
使用球坐标变换：
$x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$，
体积元 $\mathrm{d}V = r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi$。
积分区域：$0 \leqslant r \leqslant t$, $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$, $0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi$。
于是
$$F(t) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{t} f(r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta) \, r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi.$$
公式：F(t) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{t} f(r, \theta, \phi) \, r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi
提示：球坐标变换中 $r \geqslant 0$，$\theta$ 为极角，$\phi$ 为方位角。
步骤 3/5
目标：对参数 t 求导（应用莱布尼茨法则）
由于积分上限 $t$ 是参数，且被积函数与 $t$ 无关，根据含参积分求导法则（莱布尼茨法则）：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{0}^{t} g(r) \, \mathrm{d}r = g(t).$$
这里 $g(r) = r^2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} f(r, \theta, \phi) \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi$。
因此
$$F'(t) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{0}^{t} f(r, \theta, \phi) \, r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r \right] \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} f(t, \theta, \phi) \, t^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi.$$
公式：F'(t) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} f(t, \theta, \phi) \, t^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi
提示：注意求导时只对上限 $t$ 操作，角度积分保持不变。
步骤 4/5
目标：将结果转化为球面积分
在球面 $S(t): x^2 + y^2 + z^2 = t^2$ 上，面积元为 $\mathrm{d}S = t^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi$。
因此
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} f(t, \theta, \phi) \, t^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi = \iint_{S(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S.$$
公式：\iint_{S(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} f(t, \theta, \phi) \, t^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi
提示：球面积分中 $r = t$ 为常数，$\mathrm{d}S$ 的表达式需熟记。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上步骤，得到
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint_{\Omega(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iint_{S(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S.$$
这类似于三维空间中的莱布尼茨法则，即对变动区域积分求导等于边界上的通量。
公式：\boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iiint_{\Omega(t)} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iint_{S} f(x, y, z) \, \mathrm{d}S}
提示：证明中假设 $t>0$，且 $f$ 连续以保证求导与积分交换的合法性。
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