华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
16．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，试证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{n}{1+n^{2} x^{2}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察被积函数的结构，识别核函数的性质
考虑函数 $K_n(x) = \frac{n}{1+n^2 x^2}$。当 $n$ 很大时，$K_n(x)$ 在 $x=0$ 附近形成一个很高的尖峰，而在远离 $0$ 的地方迅速衰减。这类似于一个逼近狄拉克 $\delta$ 函数的核，因此极限值应与 $f(0)$ 有关。
公式：K_n(x) = \frac{n}{1+n^2 x^2}
提示：注意核函数在 $x=0$ 处的集中性，这是证明的关键思路。
步骤 2/6
目标：通过变量替换简化积分形式
令 $t = n x$，则 $x = t/n$，$dx = dt/n$。当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $n$。代入原积分得：
\[
\int_0^1 \frac{n}{1+n^2 x^2} f(x) \, dx = \int_0^n \frac{n}{1+t^2} f\left(\frac{t}{n}\right) \frac{dt}{n} = \int_0^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt
\]
公式：\int_0^1 \frac{n}{1+n^2 x^2} f(x) \, dx = \int_0^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt
提示：变量替换后，积分限变为 $0$ 到 $n$，且分母中不再显含 $n$，便于后续分析。
步骤 3/6
目标：将积分拆分为近处和远处两部分
对任意固定的正数 $A$，将积分拆分为两部分：
\[
\int_0^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt = \int_0^A \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt + \int_A^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt
\]
第一部分处理 $t$ 在 $[0, A]$ 上的行为，第二部分处理 $t$ 在 $[A, n]$ 上的衰减。
公式：\int_0^n = \int_0^A + \int_A^n
提示：选择 $A$ 足够大，使得第二部分可以任意小，这是标准的分段估计技巧。
步骤 4/6
目标：估计第二部分（远处部分）的积分
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，故有界，设 $|f(x)| \leq M$。当 $t \geq A$ 时，$1+t^2 \geq 1+A^2$，因此：
\[
\left| \int_A^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt \right| \leq M \int_A^n \frac{dt}{1+t^2} \leq M \int_A^\infty \frac{dt}{1+t^2} = M \left( \frac{\pi}{2} - \arctan A \right)
\]
对任意 $\varepsilon > 0$，可取 $A$ 足够大，使得 $M \left( \frac{\pi}{2} - \arctan A \right) < \varepsilon/3$。
公式：\left| \int_A^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt \right| \leq M \left( \frac{\pi}{2} - \arctan A \right)
提示：利用 $\arctan A \to \pi/2$ 当 $A \to \infty$，确保第二部分可任意小。
步骤 5/6
目标：处理第一部分（近处部分）的极限
在 $[0, A]$ 上，当 $n \to \infty$ 时，$t/n \to 0$ 一致成立（因为 $t \leq A$）。由 $f$ 的连续性，$f(t/n) \to f(0)$ 一致地成立。因此：
\[
\lim_{n \to \infty} \int_0^A \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt = \int_0^A \frac{f(0)}{1+t^2} \, dt = f(0) \arctan A
\]
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有：
\[
\left| \int_0^A \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt - f(0) \arctan A \right| < \varepsilon/3
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \int_0^A \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt = f(0) \arctan A
提示：一致收敛性保证了极限与积分可交换，这是分析中的关键步骤。
步骤 6/6
目标：合并估计并取极限
先取 $A$ 足够大，使得 $M \left( \frac{\pi}{2} - \arctan A \right) < \varepsilon/3$ 且 $|f(0)| \cdot \left| \arctan A - \frac{\pi}{2} \right| < \varepsilon/3$（若 $f(0)=0$ 则自动成立）。再取 $n$ 足够大，使得第一部分与 $f(0) \arctan A$ 的差小于 $\varepsilon/3$。于是：
\[
\left| \int_0^n \frac{f(t/n)}{1+t^2} \, dt - \frac{\pi}{2} f(0) \right| < \varepsilon
\]
因此极限为 $\frac{\pi}{2} f(0)$。
公式：\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n}{1+n^2 x^2} f(x) \, dx = \frac{\pi}{2} f(0)
提示：注意 $\arctan A \to \pi/2$，最终结果与 $f(0)$ 成正比。
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