华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
7． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换，将极限转化为t→0⁺的形式
令 \( t = \frac{1}{x} \)，则当 \( x \to +\infty \) 时，\( t \to 0^+ \)。原极限变为：
\[ \lim_{t \to 0^+} \left( \sin t + \cos t \right)^{1/t} \]
公式：t = 1/x
提示：注意x→+∞对应t→0⁺，方向一致，不要混淆。
步骤 2/6
目标：取自然对数，将幂指函数转化为分式极限
设 \( L = \lim_{t \to 0^+} (\sin t + \cos t)^{1/t} \)，两边取自然对数得：
\[ \ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(\sin t + \cos t)}{t} \]
公式：ln L = lim_{t→0⁺} [ln(sin t + cos t)] / t
提示：幂指函数取对数是常用技巧，注意极限与对数运算交换的条件。
步骤 3/6
目标：利用泰勒展开近似sin t和cos t
当 \( t \to 0 \) 时，有 \( \sin t \sim t - \frac{t^3}{6} + O(t^5) \)，\( \cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4) \)。因此：
\[ \sin t + \cos t \sim 1 + t - \frac{t^2}{2} + O(t^3) \]
公式：sin t + cos t = 1 + t - t²/2 + o(t²)
提示：展开到二阶即可，因为分母是t的一次方。
步骤 4/6
目标：对ln(sin t + cos t)进行泰勒展开
令 \( u = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2) \)，则 \( \ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2) \)。代入得：
\[ \ln(\sin t + \cos t) = \left(t - \frac{t^2}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(t - \frac{t^2}{2}\right)^2 + o(t^2) = t - t^2 + o(t^2) \]
公式：ln(sin t + cos t) = t - t² + o(t²)
提示：注意u²项中t²的系数要仔细计算，避免遗漏。
步骤 5/6
目标：计算对数部分的极限
将展开式代入极限：
\[ \frac{\ln(\sin t + \cos t)}{t} = \frac{t - t^2 + o(t^2)}{t} = 1 - t + o(t) \]
当 \( t \to 0^+ \) 时，上式趋于1，即 \( \ln L = 1 \)。
公式：lim_{t→0⁺} (1 - t + o(t)) = 1
提示：o(t)表示比t高阶的无穷小，极限为0。
步骤 6/6
目标：还原得到原极限值
由 \( \ln L = 1 \) 得 \( L = e^1 = e \)。因此原极限为：
\[ \lim_{x \to +\infty} \left( \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^x = e \]
公式：L = e
提示：取对数后要记得还原为指数形式。
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