华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
8． $\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用三角恒等式化简被积函数
使用半角公式：$1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$，因此被积函数化为：
$$\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2\cos^2\frac{x}{2}} = \sqrt{2}\,\left|\cos\frac{x}{2}\right|$$
公式：$1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$
提示：注意开平方后要加绝对值，因为$\cos\frac{x}{2}$在区间内可能为负。
步骤 2/5
目标：根据绝对值分段处理积分区间
积分区间$x\in[0,2\pi]$，则$\frac{x}{2}\in[0,\pi]$。分段如下：
- 当$\frac{x}{2}\in[0,\frac{\pi}{2})$即$x\in[0,\pi)$时，$\cos\frac{x}{2}\ge 0$，$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\cos\frac{x}{2}$；
- 当$\frac{x}{2}\in[\frac{\pi}{2},\pi]$即$x\in[\pi,2\pi]$时，$\cos\frac{x}{2}\le 0$，$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=-\cos\frac{x}{2}$。
因此积分化为：
$$\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos x}\,dx = \sqrt{2}\int_0^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx + \sqrt{2}\int_{\pi}^{2\pi}\left(-\cos\frac{x}{2}\right)dx$$
公式：$\left|\cos\frac{x}{2}\right|$的分段表达式
提示：分段时注意区间端点处余弦为零，不影响积分值。
步骤 3/5
目标：计算第一个积分
计算$\int_0^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx$。令$u=\frac{x}{2}$，则$dx=2du$，当$x=0$时$u=0$，$x=\pi$时$u=\frac{\pi}{2}$，于是：
$$\int_0^{\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx = \int_0^{\pi/2}\cos u \cdot 2\,du = 2\left[\sin u\right]_0^{\pi/2} = 2(1-0)=2$$
公式：$\int \cos u\,du = \sin u + C$
提示：换元时注意积分限的对应变换。
步骤 4/5
目标：计算第二个积分
计算$\int_{\pi}^{2\pi}\left(-\cos\frac{x}{2}\right)dx = -\int_{\pi}^{2\pi}\cos\frac{x}{2}\,dx$。同样令$u=\frac{x}{2}$，则$dx=2du$，$x=\pi$对应$u=\frac{\pi}{2}$，$x=2\pi$对应$u=\pi$，于是：
$$-\int_{\pi/2}^{\pi}\cos u \cdot 2\,du = -2\left[\sin u\right]_{\pi/2}^{\pi} = -2(0-1)=2$$
公式：$\int \cos u\,du = \sin u + C$
提示：注意负号的处理，以及积分限的对应。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终答案
两个积分的结果均为2，代入原式：
$$\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos x}\,dx = \sqrt{2}\cdot 2 + \sqrt{2}\cdot 2 = 4\sqrt{2}$$
公式：$\sqrt{2}\times 2 + \sqrt{2}\times 2 = 4\sqrt{2}$
提示：最终答案要化简为最简形式。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
两个分段积分之和为 $2+2=4$，乘以系数 $\sqrt{2}$ 得 $4\sqrt{2}$。
公式：\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos x}\,dx = 4\sqrt{2}
提示：最终答案需化简为最简形式。
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