华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
9.
$$
\iint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为 $z=e^{y}, y \in[0, a]$ 绕 $z$ 轴旋转一周形成的曲面，方向取下侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面形状与方向
曲线 $z = e^{y}$ 在 $yOz$ 平面内，$y \in [0, a]$，绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma$。曲面上点可参数化为：$x = t \cos\theta,\ y = t \sin\theta,\ z = e^{t}$，其中 $t \in [0, a],\ \theta \in [0, 2\pi]$。方向取下侧，即法向量指向 $z$ 减小的方向。
公式：x = t\cos\theta,\ y = t\sin\theta,\ z = e^{t}
提示：注意旋转曲面的参数化中，$t$ 对应原曲线中的 $y$，旋转后成为径向距离。
步骤 2/5
目标：识别积分形式并计算散度
积分形式为 $\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$，其中 $P = 4xz,\ Q = -2yz,\ R = 1 - z^{2}$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = 4z,\ \frac{\partial Q}{\partial y} = -2z,\ \frac{\partial R}{\partial z} = -2z$，散度和为 $4z - 2z - 2z = 0$。
公式：\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 0
提示：散度为0意味着若曲面封闭且取外侧，积分值为0，但本题曲面不封闭。
步骤 3/5
目标：补面构成封闭曲面并应用高斯公式
曲面 $\Sigma$ 是旋转侧面，方向下侧。补上顶面 $S_{\text{top}}$：$z = e^{a}$ 处的圆盘 $x^{2} + y^{2} \le a^{2}$，方向向上（外侧）。下底面退化为点（$t=0$ 时半径 $0$），无面积。封闭曲面外侧积分为0，故 $\iint_{\Sigma_{\text{下侧}}} + \iint_{S_{\text{top,上侧}}} = 0$，即 $\iint_{\Sigma_{\text{下侧}}} = -\iint_{S_{\text{top,上侧}}}$。
公式：\iint_{\Sigma_{\text{下侧}}} = -\iint_{S_{\text{top,上侧}}}
提示：补面时注意方向：封闭区域外侧与曲面下侧相反，需通过符号调整。
步骤 4/5
目标：计算顶面积分
顶面 $z = e^{a}$，$dz = 0$，故 $dy\,dz = 0$，$dz\,dx = 0$，仅剩 $R\,dx\,dy$ 项。$R = 1 - z^{2} = 1 - e^{2a}$。顶面积分：$\iint_{x^{2}+y^{2} \le a^{2}} (1 - e^{2a})\,dx\,dy = (1 - e^{2a}) \cdot \pi a^{2}$。
公式：\iint_{S_{\text{top}}} (1 - z^{2})\,dx\,dy = (1 - e^{2a})\pi a^{2}
提示：注意 $dx\,dy$ 积分对应投影到 $xOy$ 平面，面积 $\pi a^{2}$。
步骤 5/5
目标：得出原曲面积分结果
由 $\iint_{\Sigma_{\text{下侧}}} = -\iint_{S_{\text{top,上侧}}}$，代入顶面积分得：$\iint_{\Sigma_{\text{下侧}}} = -(1 - e^{2a})\pi a^{2} = (e^{2a} - 1)\pi a^{2}$。
公式：\iint_{\Sigma} 4xz\,dy\,dz - 2yz\,dz\,dx + (1 - z^{2})\,dx\,dy = (e^{2a} - 1)\pi a^{2}
提示：最终结果需检查符号：下侧积分与顶面外侧积分相反，得到正值。
步骤 6/7
目标：计算上底面 $S_{\text{上}}$ 的积分
上底面 $z = e^a$，方向取上侧（法向量朝上）。同样 $dz=0$，只剩 $dx\,dy$ 项：$R = 1 - (e^a)^2 = 1 - e^{2a}$。积分区域为半径为 $a$ 的圆盘（因为 $z = e^a$ 时，半径 $r = \ln(e^a) = a$），面积为 $\pi a^2$。因此：
$$\iint_{S_{\text{上}}} = (1 - e^{2a}) \cdot \pi a^2$$
公式：\iint_{S_{\text{上}}} = (1 - e^{2a}) \pi a^2
提示：注意方向：上侧对应 $dx\,dy$ 积分取正，与 $z$ 轴正向一致。
步骤 7/7
目标：得到 $\Sigma$ 的积分结果
代入关系式：
$$\iint_{\Sigma} = -0 - (1 - e^{2a}) \pi a^2 = (e^{2a} - 1) \pi a^2$$
公式：\iint_{\Sigma} = (e^{2a} - 1) \pi a^2
提示：最终结果为正，表明通量方向与曲面下侧一致。
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