华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
10．求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3 n+1}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造幂级数并求导
考虑幂级数 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{3n+1}}{3n+1}$，对其逐项求导得 $S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{3n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^3)^n$。当 $|x|<1$ 时，该几何级数收敛于 $S'(x) = \frac{1}{1+x^3}$。
公式：S'(x) = \frac{1}{1+x^3}
提示：注意幂级数求导后分母的线性项消失，转化为几何级数，这是处理此类级数的常用技巧。
步骤 2/6
目标：积分得到原函数并转化为定积分
由 $S'(x)$ 积分得 $S(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt$。所求级数即为 $S(1) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3n+1}$，因此问题转化为计算定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+t^3} dt$。
公式：S(1) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^3} dt
提示：注意 $S(0)=0$，积分下限取0以保证常数项正确。
步骤 3/6
目标：有理函数分解为部分分式
分母 $1+t^3 = (1+t)(1-t+t^2)$，设 $\frac{1}{1+t^3} = \frac{A}{1+t} + \frac{Bt+C}{1-t+t^2}$。通分后比较系数得方程组：$A+C=1$，$-A+B+C=0$，$A+B=0$。解得 $A=\frac13$，$B=-\frac13$，$C=\frac23$。因此 $\frac{1}{1+t^3} = \frac{1/3}{1+t} + \frac{-\frac13 t + \frac23}{1-t+t^2}$。
公式：\frac{1}{1+t^3} = \frac{1/3}{1+t} + \frac{-\frac13 t + \frac23}{1-t+t^2}
提示：分解时注意二次项 $1-t+t^2$ 的判别式为负，无需再分解。
步骤 4/6
目标：分别积分第一部分和拆分第二部分
第一项积分 $\int_0^1 \frac{1/3}{1+t} dt = \frac13 \ln 2$。第二项改写为 $\frac{-\frac13 t + \frac23}{1-t+t^2} = -\frac13 \cdot \frac{t-2}{t^2-t+1}$。将分子 $t-2$ 拆成 $\frac12(2t-1) - \frac32$，则第二项积分化为 $-\frac16 \int_0^1 \frac{2t-1}{t^2-t+1} dt + \frac12 \int_0^1 \frac{1}{t^2-t+1} dt$。
公式：\frac{t-2}{t^2-t+1} = \frac12 \cdot \frac{2t-1}{t^2-t+1} - \frac32 \cdot \frac{1}{t^2-t+1}
提示：拆分分子时，利用分母的导数 $2t-1$ 构造形式，便于积分出对数。
步骤 5/6
目标：计算两个子积分
第一个积分 $\int_0^1 \frac{2t-1}{t^2-t+1} dt = [\ln(t^2-t+1)]_0^1 = \ln 1 - \ln 1 = 0$。第二个积分先配方：$t^2-t+1 = (t-\frac12)^2 + \frac34$，令 $u = t-\frac12$，积分限变为 $[-\frac12, \frac12]$，则 $\int_0^1 \frac{1}{t^2-t+1} dt = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{1}{u^2 + (\sqrt{3}/2)^2} du = \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan\frac{2u}{\sqrt{3}} \right]_{-1/2}^{1/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$。
公式：\int_0^1 \frac{1}{t^2-t+1} dt = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}
提示：计算反正切时注意 $\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6$，且函数为奇函数，对称区间积分可简化。
步骤 6/6
目标：合并结果得到级数和
第二项整体为 $\frac12 \cdot \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$，加上第一项 $\frac13 \ln 2$，得 $\int_0^1 \frac{1}{1+t^3} dt = \frac13 \ln 2 + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。因此级数和为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。
公式：\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}
提示：最终结果需化简为最简形式，注意 $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ 可写为 $\frac{\sqrt{3}\pi}{9}$，但通常保留分母有理化形式。
步骤 7/7
目标：合并所有部分得到最终和
总积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+t^3} dt = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$，因此原级数和为 $\frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。
公式：\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}
提示：最终结果需化简，注意 $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ 可写为 $\frac{\sqrt{3}\pi}{9}$，但通常保留原形式。
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