华东师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
11．设 $f(r)$ 为 $(0,+\infty)$ 上的二阶连续可导函数，$f(1)=f^{\prime}(1)=1, u(x, y)=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 满足 Laplace 条件
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
试确定 $f(r)$ 所满足的微分方程，并求出 $f(r)$ 的解析式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将拉普拉斯方程转化为极坐标形式
已知 $u(x,y)=f(r)$，其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。在极坐标下，二维拉普拉斯算子为：
$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}$$
由于 $u$ 与角度 $\theta$ 无关，故 $\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0$。因此，Laplace条件 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ 等价于：
$$f''(r) + \frac{1}{r} f'(r) = 0$$
公式：f''(r) + \frac{1}{r} f'(r) = 0
提示：注意极坐标下拉普拉斯算子的形式，以及径向对称函数导致角度项为零。
步骤 2/6
目标：降阶处理微分方程
令 $g(r)=f'(r)$，则原方程化为 $g'(r) + \frac{1}{r} g(r) = 0$。这是一个一阶线性齐次微分方程，可分离变量：
$$\frac{dg}{g} = -\frac{dr}{r}$$
公式：g'(r) + \frac{1}{r} g(r) = 0
提示：降阶法是处理二阶缺项方程的常用技巧，注意不要遗漏负号。
步骤 3/6
目标：求解一阶方程得到 f'(r)
对 $\frac{dg}{g} = -\frac{dr}{r}$ 两边积分：
$$\ln |g| = -\ln r + C_1$$
即 $g(r) = \frac{C}{r}$，其中 $C = \pm e^{C_1}$ 为任意常数。因此：
$$f'(r) = \frac{C}{r}$$
公式：f'(r) = \frac{C}{r}
提示：积分后常数处理要规范，最终常数用字母表示。
步骤 4/6
目标：积分得到 f(r) 通解
对 $f'(r) = \frac{C}{r}$ 积分：
$$f(r) = C \ln r + D$$
其中 $D$ 为积分常数。
公式：f(r) = C \ln r + D
提示：注意 $\ln r$ 的定义域为 $r>0$，与题目一致。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数
已知 $f(1)=1$，$f'(1)=1$。
由 $f'(1) = \frac{C}{1} = 1$ 得 $C=1$。
代入 $f(1)=1 \cdot \ln 1 + D = 0 + D = 1$ 得 $D=1$。
因此解析式为：
$$f(r) = \ln r + 1$$
公式：f(r) = \ln r + 1
提示：代入 $r=1$ 时 $\ln 1=0$，计算要仔细。
步骤 6/6
目标：验证解的正确性
计算 $f'(r)=\frac{1}{r}$，$f''(r)=-\frac{1}{r^2}$。代入微分方程：
$$f''(r)+\frac{1}{r}f'(r) = -\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r}\cdot\frac{1}{r} = 0$$
满足方程。同时 $f(1)=1$，$f'(1)=1$ 也成立。
公式：f''(r)+\frac{1}{r}f'(r)=0
提示：验证是确保解答正确的重要步骤，不可省略。
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