华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1． $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \in \mathbb{R}$ 的充要条件是：对任何正整数 $k, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有
$$
\left|a_{n}-A\right|<\frac{k}{k^{2}+1}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾极限的标准定义
极限 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$ 的标准定义是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N > 0$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - A| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, \forall n > N: |a_n - A| < \varepsilon
提示：注意 $\varepsilon$ 可以取任意小的正数，不限于特定形式。
步骤 2/5
目标：分析题目中给出的条件
题目条件为：对任何正整数 $k$，存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时有 $|a_n - A| < \frac{k}{k^2+1}$。这相当于将标准定义中的 $\varepsilon$ 替换为数列 $\frac{k}{k^2+1}$，其中 $k$ 取遍所有正整数。
公式：\forall k \in \mathbb{N}^+, \exists N > 0, \forall n > N: |a_n - A| < \frac{k}{k^2+1}
提示：注意 $\frac{k}{k^2+1}$ 是正数且随 $k$ 增大而趋于 0。
步骤 3/5
目标：证明必要性：若极限成立，则题目条件成立
假设 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$。对任意给定的正整数 $k$，取 $\varepsilon = \frac{k}{k^2+1} > 0$。由极限定义，存在 $N > 0$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - A| < \varepsilon = \frac{k}{k^2+1}$。因此题目条件成立。
公式：\text{由极限定义，对 } \varepsilon = \frac{k}{k^2+1} > 0 \text{ 存在 } N
提示：必要性直接由标准定义推出，注意 $\frac{k}{k^2+1}$ 是正数。
步骤 4/5
目标：证明充分性：若题目条件成立，则极限成立
假设题目条件成立。对任意 $\varepsilon > 0$，由于 $\lim_{k\to\infty} \frac{k}{k^2+1} = 0$，存在正整数 $k_0$ 使得 $\frac{k_0}{k_0^2+1} < \varepsilon$。由题目条件，对这个 $k_0$，存在 $N > 0$，当 $n > N$ 时，$|a_n - A| < \frac{k_0}{k_0^2+1} < \varepsilon$。因此对任意 $\varepsilon > 0$ 存在 $N$，满足极限定义，故 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists k_0 \in \mathbb{N}^+: \frac{k_0}{k_0^2+1} < \varepsilon \Rightarrow \exists N: |a_n - A| < \varepsilon
提示：关键是要利用 $\frac{k}{k^2+1}$ 可以任意小，从而覆盖所有 $\varepsilon$。
步骤 5/5
目标：总结结论
由于必要性和充分性均成立，题目中的条件是 $\lim_{n\to\infty} a_n = A$ 的充要条件。
公式：\lim_{n\to\infty} a_n = A \iff \forall k \in \mathbb{N}^+, \exists N > 0, \forall n > N: |a_n - A| < \frac{k}{k^2+1}
提示：注意该条件与标准定义等价，但形式不同，需理解其本质。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合必要性和充分性，题目中的条件是 \(\lim_{n\to\infty} a_n = A\) 的充要条件。
提示：注意不要误以为条件中的不等式必须对所有 \(k\) 同时成立，它是对每个 \(k\) 分别存在 \(N\)。
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