华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域商有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解已知条件
已知极限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2x}\) 存在。该极限只涉及函数在 \(x\) 和 \(-x\) 处的值之差，不直接涉及 \(f(0)\)，因此不能直接推出导数存在。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2x} = L \text{ 存在}
提示：注意该极限是奇对称差商，与导数定义不同。
步骤 2/4
目标：回顾导数定义
若 \(f'(0)\) 存在，则 \(\displaystyle f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\) 存在。该定义需要用到 \(f(0)\)，而题目条件未提供 \(f(0)\) 的信息。
公式：f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}
提示：导数定义要求函数在0处有定义且极限存在。
步骤 3/4
目标：尝试构造反例
考虑函数 \(f(x) = |x|\)。计算 \(f(x)-f(-x) = |x| - |{-x}| = |x| - |x| = 0\)，因此 \(\frac{f(x)-f(-x)}{2x} = 0\) 对所有 \(x \neq 0\) 成立，极限为0，存在。但 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处不可导，因为左导数为 \(-1\)，右导数为 \(1\)。
公式：f(x)=|x|, \quad \frac{f(x)-f(-x)}{2x}=0 \to 0
提示：注意绝对值函数在0处有尖点，左右导数不相等。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于存在反例 \(f(x)=|x|\) 满足条件但 \(f'(0)\) 不存在，因此原命题不成立。
公式：\text{命题错误}
提示：对称差商极限存在不能保证导数存在。
步骤 5/7
目标：验证反例满足条件
计算对称差商：当 $x \neq 0$ 时，$f(x)-f(-x) = x\sin\frac{1}{x} - \left(-x\sin\frac{1}{-x}\right) = x\sin\frac{1}{x} + x\sin\left(-\frac{1}{x}\right) = x\sin\frac{1}{x} - x\sin\frac{1}{x} = 0$。因此 $\frac{f(x)-f(-x)}{2x} = 0$，极限存在且为0。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2x} = 0
提示：注意 $\sin(1/(-x)) = -\sin(1/x)$，所以两项抵消。
步骤 6/7
目标：验证反例中导数不存在
计算导数定义：$\frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{x\sin(1/x)}{x} = \sin\frac{1}{x}$，当 $x \to 0$ 时，$\sin(1/x)$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，没有极限，因此 $f'(0)$ 不存在。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} \text{ 不存在}
提示：振荡函数无极限是常见考点。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于存在反例 $f(x)=x\sin(1/x)$（$f(0)=0$）满足题目条件（对称差商极限存在），但 $f'(0)$ 不存在，因此原命题错误。
提示：注意：反例必须同时满足条件（极限存在）和否定结论（导数不存在）。
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