华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 存在原函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确命题含义
题目断言：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上黎曼可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在原函数。我们需要判断此命题的真假。
提示：注意区分“可积”与“存在原函数”是两个不同的概念。
步骤 2/6
目标：回顾相关定义
黎曼可积：函数在区间上有定义，且黎曼和极限存在。原函数：存在可导函数 $F(x)$，使得 $F'(x)=f(x)$ 在区间上每一点成立。微积分基本定理指出：若 $f$ 连续，则变上限积分 $\int_a^x f(t)dt$ 是 $f$ 的一个原函数。
公式：$F(x)=\int_a^x f(t)dt$，若 $f$ 连续，则 $F'(x)=f(x)$。
提示：可积函数不一定连续，例如有有限个跳跃间断点的函数仍可积。
步骤 3/6
目标：构造反例
考虑函数 $f(x)=\begin{cases}0, & x<0\\1, & x\ge 0\end{cases}$ 在区间 $[-1,1]$ 上。该函数只有一个跳跃间断点 $x=0$，因此黎曼可积。
提示：跳跃间断点是可积函数中常见的非连续情形。
步骤 4/6
目标：计算变上限积分
令 $F(x)=\int_{-1}^x f(t)dt$。当 $x<0$ 时，$f(t)=0$，故 $F(x)=0$；当 $x\ge 0$ 时，$F(x)=\int_{-1}^0 0\,dt+\int_0^x 1\,dt=x$。因此 $F(x)=\begin{cases}0, & x<0\\x, & x\ge 0\end{cases}$。
公式：$F(x)=\int_{-1}^x f(t)dt$
提示：注意分段积分时需正确处理间断点处的积分值。
步骤 5/6
目标：分析原函数的存在性
$F(x)$ 在 $x=0$ 处左导数为 $0$，右导数为 $1$，故 $F$ 在 $x=0$ 不可导。若存在原函数 $G(x)$ 满足 $G'(x)=f(x)$ 处处成立，则 $G$ 在 $x=0$ 处导数必须同时等于 $0$ 和 $1$，矛盾。因此 $f$ 在 $[-1,1]$ 上不存在原函数。
公式：$F'_-(0)=0$，$F'_+(0)=1$，$F'(0)$ 不存在。
提示：原函数要求导数处处等于 $f(x)$，包括间断点处，这比可积条件更强。
步骤 6/6
目标：得出结论
该反例表明：可积函数不一定存在原函数。原命题错误。
提示：记住：连续是可积的充分条件，但可积不一定连续，而连续是存在原函数的充分条件（通过变上限积分），但可积不一定保证原函数存在。
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