华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
4．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续且 $\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒等于 0 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件并建立初步认识
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，且积分 $\int_0^1 f^2(x) \, dx = 0$。由于 $f(x)$ 连续，则 $f^2(x)$ 也是 $[0,1]$ 上的连续函数，且 $f^2(x) \geq 0$ 恒成立。一个非负连续函数的积分为零，通常意味着该函数恒为零，这是我们需要严格证明的结论。
公式：$\int_0^1 f^2(x) \, dx = 0$，$f^2(x) \geq 0$
提示：注意 $f^2(x)$ 的非负性和连续性是利用积分性质的关键。
步骤 2/5
目标：采用反证法，假设存在非零点
假设结论不成立，即存在某点 $x_0 \in [0,1]$ 使得 $f(x_0) \neq 0$。那么 $f^2(x_0) > 0$。由 $f^2(x)$ 的连续性，对于正数 $\varepsilon = \frac{f^2(x_0)}{2} > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 且 $x \in [0,1]$ 时，有 $|f^2(x) - f^2(x_0)| < \varepsilon$。
公式：$|f^2(x) - f^2(x_0)| < \frac{f^2(x_0)}{2}$
提示：连续性定义中的 $\varepsilon$ 要选取得当，以便得到下界。
步骤 3/5
目标：推导邻域内函数值的下界
由上述不等式可得，在区间 $I = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap [0,1]$ 内，有 $f^2(x) > f^2(x_0) - \frac{f^2(x_0)}{2} = \frac{f^2(x_0)}{2} > 0$。因此，在该邻域内 $f^2(x)$ 有一个严格正的下界。
公式：$f^2(x) \geq \frac{f^2(x_0)}{2} > 0$，对任意 $x \in I$
提示：注意邻域 $I$ 的长度至少为 $\min(\delta, x_0, 1-x_0)$ 的正数，确保积分区间非退化。
步骤 4/5
目标：估计积分值并导出矛盾
设邻域 $I$ 的长度为 $\eta > 0$（例如 $\eta = \min(\delta, x_0, 1-x_0)$ 但更精确地，可取 $\eta = \min(\delta, x_0, 1-x_0)$ 的一个正数，实际上由于 $x_0$ 在闭区间内，$I$ 的长度至少为 $\min(\delta, x_0, 1-x_0)$，但更严谨的做法是取 $\eta = \min(\delta, x_0, 1-x_0)$ 并注意若 $x_0$ 在边界，则邻域为半区间，长度仍为正）。于是积分满足：
$$
\int_0^1 f^2(x) \, dx \geq \int_I f^2(x) \, dx \geq \frac{f^2(x_0)}{2} \cdot \eta > 0.
$$
这与已知条件 $\int_0^1 f^2(x) \, dx = 0$ 矛盾。
公式：$\int_0^1 f^2(x) \, dx \geq \frac{f^2(x_0)}{2} \cdot \eta > 0$
提示：这里要确保 $\eta$ 确实为正，需要分 $x_0$ 在区间内部或边界讨论，但无论哪种情况，邻域与 $[0,1]$ 的交集长度都为正。
步骤 5/5
目标：得出结论
反证法假设不成立，因此对任意 $x \in [0,1]$，都有 $f(x) = 0$。即 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒等于零。
公式：$f(x) \equiv 0, \quad \forall x \in [0,1]$
提示：结论成立的关键在于连续性和非负性，缺一不可。
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