华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
5．若级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}$ 均收敛，则 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 也收敛。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待判断命题
已知级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ 均收敛。要判断级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n b_n$ 是否一定收敛。
提示：注意：两个收敛级数的逐项乘积不一定收敛，需要构造反例。
步骤 2/6
目标：思考反例的构造方向
由于收敛级数可能条件收敛，其通项绝对值不一定可和。若取 $a_n$ 和 $b_n$ 为交错项且绝对值衰减较慢，乘积可能变为正项发散级数。经典反例：取 $a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。
提示：构造反例时，常利用条件收敛级数与调和级数的关系。
步骤 3/6
目标：验证第一个级数的收敛性
考虑 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是交错级数，通项绝对值 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知该级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $b_n$ 单调递减趋于0，则 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛。
提示：注意：莱布尼茨判别法仅适用于交错级数。
步骤 4/6
目标：计算乘积级数的通项
计算 $a_n b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = \frac{(-1)^{2n}}{n} = \frac{1}{n}$。
公式：$a_n b_n = \frac{1}{n}$
提示：注意 $(-1)^{2n}=1$，乘积消去了交错符号。
步骤 5/6
目标：判断乘积级数的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数，已知发散。
公式：调和级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散。
提示：调和级数是发散级数的典型例子，需熟记。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在两个收敛级数，其逐项乘积的级数发散，故原命题错误。
提示：结论：两个收敛级数的乘积不一定收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。