华东师范大学 2020年数学分析第0题

题目说：设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个极小值点，则一定存在 $\delta>0$ 使 $f(x)$ 在 $(x_0-\delta, x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0, x_0+\delta)$ 上单调递增。 首先回顾极小值点的定义：存在某个邻域 $U(x_0)$，使得对任意 $x \in U(x_0)$，有 $f(x_0) \le f(x)$。定义只要求函数值不小于极小值，并未对单调性作任何要求。因此，题目中的结论不一定成立，需要谨慎分析。

考虑函数： $$ f(x) = \begin{cases} x^2 \left(2 + \sin\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases} $$ 在 $x=0$ 处，$f(0)=0$。对任意 $x \neq 0$，因为 $2+\sin(1/x) \ge 1 > 0$，且 $x^2>0$，所以 $f(x)>0$。因此 $f(x) \ge f(0)$ 对所有 $x$ 成立，$x=0$ 是极小值点。

对 $x \neq 0$ 求导： $$ f'(x) = 2x\left(2+\sin\frac{1}{x}\right) + x^2 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 4x + 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}. $$ 在任意小的区间 $(0,\delta)$ 内，当 $x\to 0^+$ 时，$4x$ 和 $2x\sin(1/x)$ 都趋于 $0$，但 $-\cos(1/x)$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间快速振荡，导致 $f'(x)$ 无限次变号。因此 $f(x)$ 在 $(0,\delta)$ 上不可能单调递增。同理，在 $(-\delta,0)$ 上，$f'(x)$ 同样振荡，不可能单调递减。

由于存在反例 $f(x)=x^2(2+\sin(1/x))$ 在 $x=0$ 处取极小值，但在任何邻域内都不满足左边单调递减、右边单调递增，因此题目中的命题是错误的。 极小值点不一定伴随单调性变化，只有当函数在极小值点附近可导且导数不变号（或满足更强条件如严格凸性）时才成立。

计算 $f(x)$ 在 $x\neq 0$ 时的导数：$f'(x)=4x+2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$。当 $x\to 0$ 时，$4x$ 和 $2x\sin\frac{1}{x}$ 都趋于 $0$，但 $-\cos\frac{1}{x}$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间无限振荡。因此在任意小的区间 $(0,\delta)$ 内，$f'(x)$ 的符号会不断变化，导致 $f(x)$ 不可能单调递增；同理在 $(-\delta,0)$ 内也不单调递减。

由于存在反例 $f(x)=x^2(2+\sin\frac{1}{x})$（$x\neq 0$），$f(0)=0$，它在 $x_0=0$ 处取得极小值，但在任何 $0$ 的邻域内都不满足左侧单调递减、右侧单调递增，因此原命题错误。