华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
12．设 $a_{n}>0(n=1,2, \ldots), S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$ ，证明：$\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 相同的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确要证明的结论和已知条件
已知 $a_n > 0$，$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$。需要证明级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n}{S_n}$ 具有相同的敛散性，即一个收敛时另一个也收敛，一个发散时另一个也发散。
公式：$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$
提示：注意 $S_n$ 是单调递增的正数列，这是后续放缩的基础。
步骤 2/4
目标：证明若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum \frac{a_n}{S_n}$ 收敛
设 $\sum_{n=1}^\infty a_n = S$（有限正数），则 $S_n \uparrow S$。由于 $S_n$ 递增趋于 $S$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$S_n > \frac{S}{2}$。于是对于 $n > N$，有 $\frac{a_n}{S_n} < \frac{a_n}{S/2} = \frac{2}{S} a_n$。由比较判别法，$\sum_{n=N+1}^\infty \frac{2}{S} a_n$ 收敛，故 $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{S_n}$ 收敛。
公式：$\frac{a_n}{S_n} \le \frac{2}{S} a_n \quad (n > N)$
提示：关键是要利用 $S_n$ 有正下界，从而将 $\frac{a_n}{S_n}$ 与 $a_n$ 的常数倍比较。
步骤 3/4
目标：证明若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum \frac{a_n}{S_n}$ 发散
此时 $S_n \to +\infty$。利用积分不等式：对于 $n \ge 2$，有 $\frac{a_n}{S_n} \ge \int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dx}{x} = \ln S_n - \ln S_{n-1}$。这是因为函数 $\frac{1}{x}$ 在 $[S_{n-1}, S_n]$ 上递减，而 $a_n = S_n - S_{n-1}$，由积分比较可得。对 $k=2$ 到 $N$ 求和：$\sum_{k=2}^N \frac{a_k}{S_k} \ge \ln S_N - \ln S_1$。由于 $S_N \to +\infty$，右边趋于 $+\infty$，故 $\sum \frac{a_n}{S_n}$ 发散。
公式：$\frac{a_n}{S_n} \ge \ln S_n - \ln S_{n-1}$
提示：这个积分放缩是处理正项级数发散的经典技巧，注意 $S_n$ 单调递增且趋于无穷是使用该不等式的条件。
步骤 4/4
目标：综合结论
由以上两步可知：当 $\sum a_n$ 收敛时，$\sum \frac{a_n}{S_n}$ 收敛；当 $\sum a_n$ 发散时，$\sum \frac{a_n}{S_n}$ 发散。因此，两个级数具有相同的敛散性。
公式：无新公式
提示：证明中分别使用了比较判别法和积分判别法的思想，注意正项级数的性质保证了放缩的合法性。
步骤 5/5
目标：总结敛散性相同
由以上两步可知，$\sum a_n$ 收敛当且仅当 $\sum \frac{a_n}{S_n}$ 收敛，即两者具有相同的敛散性。
提示：注意 $a_n > 0$ 的条件是必要的，否则结论不成立。
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