华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
13．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 有界且每一项非负，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\sup _{n \geq 1} a_{n}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：记上确界并建立初步不等式
令 $M = \sup_{n \ge 1} a_n$，由于数列有界且非负，$M$ 是一个有限非负数。显然对每个 $k$，有 $a_k \le M$。
公式：$M = \sup_{n \ge 1} a_n$
提示：注意上确界可能不是最大值，但数列有界保证 $M$ 有限。
步骤 2/5
目标：证明极限不大于上确界
对于任意固定的 $n$，有 $a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n \le n \cdot M^n$，因此 $\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \le \sqrt[n]{n} \cdot M$。当 $n \to \infty$ 时，$\sqrt[n]{n} \to 1$，所以 $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \le M$。
公式：$\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \le \sqrt[n]{n} \cdot M$
提示：这里用到了 $\sqrt[n]{n} \to 1$ 这一重要极限，注意 $\limsup$ 的含义。
步骤 3/5
目标：处理 $M=0$ 的特殊情况
若 $M=0$，则所有 $a_n=0$，此时 $\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_n^n}=0$，极限为 $0$，等式显然成立。
公式：$M=0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_n^n}=0$
提示：不要忽略零边界情况，否则后续论证中 $M-\varepsilon$ 可能为负。
步骤 4/5
目标：证明极限不小于上确界（$M>0$ 情形）
由 $M$ 的定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在某个下标 $k$ 使得 $a_k > M-\varepsilon$。则对所有 $n \ge k$，有 $a_1^n+\cdots+a_n^n \ge a_k^n > (M-\varepsilon)^n$，从而 $\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_n^n} > M-\varepsilon$。因此 $\liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_n^n} \ge M$。
公式：$\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_n^n} > M-\varepsilon$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，下极限不小于 $M$ 的关键在于存在一个固定的 $k$ 使得不等式对足够大的 $n$ 成立。
步骤 5/5
目标：结合上下极限得出结论
由第二步得 $\limsup \le M$，由第四步得 $\liminf \ge M$，因此 $\limsup = \liminf = M$，故极限存在且等于 $M$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_n^n} = M = \sup_{n\ge 1} a_n$
提示：上下极限相等是极限存在的充要条件，注意此处 $M$ 是上确界而非最大值。
步骤 6/7
目标：结合上下极限得到极限存在且等于M
已证：
$$
\limsup_{n \to \infty} S_n \le M, \quad \liminf_{n \to \infty} S_n \ge M.
$$
由于下极限不超过上极限，即 $\liminf S_n \le \limsup S_n$，因此：
$$
M \le \liminf_{n \to \infty} S_n \le \limsup_{n \to \infty} S_n \le M,
$$
从而所有不等式取等号，极限存在且等于 $M$。
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = M
提示：上下极限相等是极限存在的充要条件。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此原极限等式成立：
$$
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n} = \sup_{n \ge 1} a_n.
$$
公式：\boxed{\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\sup_{n \geq 1} a_{n}}
提示：证明中同时用到了上界估计和下界估计，是处理这类极限问题的典型方法。
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