华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
14．设
$$
Q(x)=\left\{\begin{array}{ll}
q, & x=\frac{p}{q} \in(0,1) \quad \text { 这里 } p, q \text { 是互素的正整数, } \\
0, & (0,1) \text { 上的其它点 }
\end{array},\right.
$$
证明：对任意 $x_{0} \in(0,1)$ 以及任意 $\delta>0$ ，满足 $U\left(x_{0} ; \delta\right) \subset(0,1) . Q(x)$ 在 $U\left(x_{0} ; \delta\right)$ 上无界．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解函数定义与无界概念
函数 $Q(x)$ 在 $(0,1)$ 上定义：当 $x = \frac{p}{q}$ 为既约有理数时，$Q(x)=q$；当 $x$ 为无理数时，$Q(x)=0$。所谓“$Q(x)$ 在邻域 $U(x_0;\delta)$ 上无界”，是指对任意大的正数 $M$，总存在 $x \in U(x_0;\delta)$ 使得 $Q(x) > M$。由于无理点函数值为 $0$，因此必须通过有理点来获得大函数值。
公式：Q\left(\frac{p}{q}\right)=q,\quad \gcd(p,q)=1
提示：注意无界意味着函数值可以任意大，而不是趋于无穷大。
步骤 2/5
目标：明确邻域区间及其长度
对任意 $x_0 \in (0,1)$ 和 $\delta > 0$，考虑邻域 $U(x_0;\delta) = (x_0-\delta, x_0+\delta) \cap (0,1)$。该区间非空，记其长度为 $L$。由于 $x_0 \in (0,1)$ 且 $\delta>0$，总有 $L > 0$（若邻域完全包含于 $(0,1)$，则 $L=2\delta$；若部分超出边界，则 $L$ 可能小于 $2\delta$，但仍为正数）。
公式：L = \text{length}\big((x_0-\delta, x_0+\delta) \cap (0,1)\big) > 0
提示：不要忽略邻域可能与边界相交的情况，但长度始终为正。
步骤 3/5
目标：构造分母足够大的既约有理数
取任意大的正数 $M$，我们需要找到既约分数 $\frac{p}{q}$ 落在该邻域内且 $q > M$。选择质数 $q$ 满足 $q > \max\{M, \frac{1}{L}\}$。由于 $\frac{1}{q} < L$，形如 $\frac{p}{q}$（$p$ 为整数）的点在数轴上以间距 $\frac{1}{q}$ 均匀分布，而区间长度 $L$ 大于该间距，因此至少存在一个整数 $p$ 使得 $\frac{p}{q} \in U(x_0;\delta)$。又因为 $q$ 是质数且 $0 < \frac{p}{q} < 1$，故 $1 \leq p \leq q-1$，$p$ 与 $q$ 互素，即 $\frac{p}{q}$ 为既约分数。
公式：\exists \text{质数 } q > \max\{M, 1/L\},\ \exists p \in \mathbb{Z}:\ \frac{p}{q} \in U(x_0;\delta),\ \gcd(p,q)=1
提示：使用质数分母可保证既约性，避免约分后分母变小。
步骤 4/5
目标：验证函数值大于M
对于上述既约分数 $\frac{p}{q}$，由函数定义得 $Q\left(\frac{p}{q}\right) = q$。由于 $q > M$，因此 $Q\left(\frac{p}{q}\right) > M$。这表明在邻域 $U(x_0;\delta)$ 内存在点使得函数值大于任意给定的 $M$。
公式：Q\left(\frac{p}{q}\right) = q > M
提示：注意 $M$ 是任意大的，因此函数值可以任意大。
步骤 5/5
目标：总结无界性结论
由 $M$ 的任意性可知，对任意 $x_0 \in (0,1)$ 和任意 $\delta > 0$，函数 $Q(x)$ 在邻域 $U(x_0;\delta)$ 上无界。证毕。
提示：无界性不依赖于 $x_0$ 是有理点还是无理点，因为有理数稠密且分母可任意大。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。