华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
15．$u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，且 $u_{n}(x) \geq 0, n=1,2 \ldots$ ，设 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上收玫。记 $f(x)=$
$\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ ．证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和证明目标
已知每个 $u_n(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $u_n(x) \geq 0$，级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上逐点收敛到 $f(x)$。需要证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最小值。
公式：$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x), \quad x \in [a,b]$
提示：注意逐点收敛不一定一致收敛，不能直接使用连续性传递。
步骤 2/4
目标：构造部分和函数列并分析其性质
设部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} u_n(x)$。由于每个 $u_n$ 连续，$S_N(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。又因为 $u_n(x) \geq 0$，对每个固定的 $x$，数列 $\{S_N(x)\}$ 单调递增且收敛到 $f(x)$。
公式：$S_N(x) \leq S_{N+1}(x) \leq f(x), \quad \lim_{N \to \infty} S_N(x) = f(x)$
提示：单调递增性来源于非负项相加，这是后续证明下半连续的关键。
步骤 3/4
目标：证明和函数 $f(x)$ 是下半连续的
取任意 $x_0 \in [a,b]$ 和 $\varepsilon > 0$。由于 $S_N(x_0) \to f(x_0)$，存在 $N$ 使得 $f(x_0) - S_N(x_0) < \varepsilon$。由 $S_N$ 的连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|S_N(x) - S_N(x_0)| < \varepsilon$，从而 $S_N(x) > S_N(x_0) - \varepsilon$。于是 $f(x) \geq S_N(x) > S_N(x_0) - \varepsilon > f(x_0) - 2\varepsilon$。这表明 $f$ 在 $x_0$ 处下半连续。
公式：$f(x) > f(x_0) - 2\varepsilon, \quad \forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) \cap [a,b]$
提示：下半连续的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在邻域使得函数值不小于 $f(x_0)-\varepsilon$。这里利用了 $f(x) \geq S_N(x)$ 的单调性。
步骤 4/4
目标：利用紧集上下半连续函数的性质得到最小值
闭区间 $[a,b]$ 是 $\mathbb{R}$ 上的紧集。下半连续函数在紧集上必有最小值。证明思路：设 $m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)$，取下确界序列 $\{x_n\}$ 使得 $f(x_n) \to m$。由紧性，存在收敛子列 $x_{n_k} \to x^* \in [a,b]$。由下半连续性，$f(x^*) \leq \liminf_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = m$，又 $m$ 是下确界，故 $f(x^*) = m$，即最小值在 $x^*$ 处取到。
公式：$\exists x^* \in [a,b], \quad f(x^*) = \min_{x \in [a,b]} f(x)$
提示：紧集上的下半连续函数取最小值是标准结论，证明中需注意子列的存在性由 Bolzano-Weierstrass 定理保证。
步骤 5/5
目标：总结证明思路
本题的关键在于不依赖一致收敛，而是通过非负项级数部分和的单调递增性和连续性，推出和函数的下半连续性，进而利用紧集上下半连续函数的最值存在性得到结论。
提示：注意区分下半连续与连续：下半连续比连续弱，但足以保证最小值存在。
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