华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
16．设 $f(x)$ 是定义在 $[0, \infty)$ 的非负函数且可导，满足 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明：$\exists x_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
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\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f^{2}\left(x_{n}\right)+f^{\prime}\left(x_{n}\right)^{2}\right]=0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由积分收敛得到函数值的极限性质
由于 $f(x) \ge 0$ 且反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，根据反常积分的必要条件，必有 $\liminf_{x \to \infty} f(x) = 0$。这意味着存在一个趋于无穷的点列 $\{y_n\}$，使得 $f(y_n) \to 0$。但仅此不足以控制导数，需要进一步分析。
公式：\liminf_{x \to \infty} f(x) = 0
提示：注意 $\liminf$ 与 $\lim$ 的区别，这里只能保证存在子列趋于0，不能保证整体极限为0。
步骤 2/5
目标：反证法假设
假设结论不成立，即存在 $\varepsilon > 0$ 和 $X > 0$，使得对所有 $x \ge X$，都有 $f^2(x) + (f'(x))^2 \ge \varepsilon$。我们的目标是推出矛盾。
公式：\forall x \ge X, \quad f^2(x) + (f'(x))^2 \ge \varepsilon
提示：反证法是处理存在性证明的常用方法，注意假设的否定形式。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：情形一（f(x)有正下界）
如果存在无穷多个点 $x$ 使得 $f(x) \ge \sqrt{\varepsilon/2}$，由于 $f$ 非负且积分收敛，但函数在无穷远处有正下界的区间上积分会发散，矛盾。因此，对于充分大的 $x$，必有 $f(x) < \sqrt{\varepsilon/2}$。
公式：f(x) \ge \sqrt{\varepsilon/2} \quad \Rightarrow \quad \int_X^\infty f(x) \, dx = +\infty
提示：注意：积分收敛要求函数在无穷远处必须足够小，不能有正下界的无限长区间。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：情形二（导数绝对值有正下界）
当 $f(x) < \sqrt{\varepsilon/2}$ 时，由假设必须有 $|f'(x)| \ge \sqrt{\varepsilon/2}$。若导数恒正，则 $f$ 单调递增，最终会超过 $\sqrt{\varepsilon/2}$，回到情形一导致矛盾；若导数恒负，则 $f$ 单调递减，最终会变为负数，与 $f(x) \ge 0$ 矛盾；若导数变号，则存在导数为零的点 $x_0$，在该点处 $f^2(x_0) + 0^2 < \varepsilon$，与假设矛盾。
公式：|f'(x)| \ge \sqrt{\varepsilon/2} \quad \text{且} \quad f(x) < \sqrt{\varepsilon/2}
提示：导数变号时，利用导数的介值性（达布定理）可保证存在导数为零的点。
步骤 5/5
目标：导出矛盾并完成证明
以上三种子情形均导致矛盾，因此原假设不成立。故对任意 $\varepsilon > 0$ 和任意 $X > 0$，总存在 $x \ge X$ 使得 $f^2(x) + (f'(x))^2 < \varepsilon$。取 $\varepsilon = 1/n$，$X = n$，可得点列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n \to \infty$ 且 $f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 \to 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \left[ f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 \right] = 0
提示：构造点列时，利用 $\varepsilon$ 的任意性和 $X$ 的任意性，通过取 $\varepsilon_n = 1/n$ 得到所需的 $x_n$。
步骤 6/7
目标：综合矛盾并构造点列
上述两种情况均导致矛盾，因此反证法假设不成立。即对任意 $n \in \mathbb{N}$，存在 $x_n > n$ 使得 $f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 < \frac{1}{n}$。于是 $x_n \to +\infty$，且 $\lim_{n \to \infty} \left[ f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 \right] = 0$。
公式：\forall n, \exists x_n > n: f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 < \frac{1}{n}
提示：构造时取 $\delta = 1/n$，确保点列趋于无穷且平方和趋于零。
步骤 7/7
目标：结论
因此，存在数列 $x_n \to +\infty$ 使得 $\lim_{n \to \infty} \left[ f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 \right] = 0$，命题得证。
公式：\lim_{n \to \infty} \left[ f^2(x_n) + (f'(x_n))^2 \right] = 0
提示：证明的关键是利用反证法，将问题转化为对函数值和导数下界的矛盾分析。
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