华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
7.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数
利用三角恒等式：
\[
1+\sin x = \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)^2
\]
因此：
\[
\sqrt{1+\sin x} = \left|\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right|
\]
公式：1+\sin x = \left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)^2
提示：注意平方根的结果必须非负，所以需要加绝对值。
步骤 2/6
目标：将和式化为单一三角函数
将 \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} 化为 \sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)，因为 \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \pi/4)。
所以：
\[
\sqrt{1+\sin x} = \sqrt{2}\left|\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right|
\]
公式：\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)
提示：辅助角公式的应用，注意相位变换。
步骤 3/6
目标：确定绝对值符号去掉的区间
当 x 从 0 到 2\pi 时，\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} 的范围是从 \frac{\pi}{4} 到 \frac{5\pi}{4}。
在此区间内，正弦函数在 \left[\frac{\pi}{4}, \pi\right] 上为正，在 \left[\pi, \frac{5\pi}{4}\right] 上为负。
对应 x 的范围：
- 当 \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, \pi\right] 时，x \in [0, \frac{3\pi}{2}]，此时 \sin 为正，绝对值直接去掉。
- 当 \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \in \left[\pi, \frac{5\pi}{4}\right] 时，x \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]，此时 \sin 为负，绝对值去掉后需加负号。
公式：\left|\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right| = \begin{cases} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right), & 0 \le x \le \frac{3\pi}{2} \\ -\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right), & \frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi \end{cases}
提示：注意分段点的确定，避免积分区间划分错误。
步骤 4/6
目标：将积分写成分段形式
原积分化为：
\[
I = \sqrt{2}\left( \int_{0}^{3\pi/2} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx - \int_{3\pi/2}^{2\pi} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx \right)
\]
公式：I = \sqrt{2}\left( \int_{0}^{3\pi/2} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx - \int_{3\pi/2}^{2\pi} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx \right)
提示：注意第二段积分前是减号，因为绝对值导致符号相反。
步骤 5/6
目标：计算原函数并代入上下限
先求原函数：
\[
\int \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + C
\]
第一段积分：
\[
\int_{0}^{3\pi/2} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx = \left[-2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{3\pi/2}
\]
当 x = 3\pi/2 时，角度为 \pi，\cos\pi = -1，值为 -2(-1)=2；
当 x = 0 时，角度为 \pi/4，\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2，值为 -2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}；
差值为 2 - (-\sqrt{2}) = 2+\sqrt{2}。
第二段积分：
\[
\int_{3\pi/2}^{2\pi} \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx = \left[-2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{3\pi/2}^{2\pi}
\]
当 x = 2\pi 时，角度为 5\pi/4，\cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2，值为 -2(-\sqrt{2}/2)=\sqrt{2}；
当 x = 3\pi/2 时，值为 2；
差值为 \sqrt{2} - 2。
公式：\int \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + C
提示：代入上下限时注意角度计算准确，特别是余弦函数在特殊角的值。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
括号内总和为：
\[
(2+\sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 2) = 2+\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 4
\]
乘以 \sqrt{2} 得：
\[
I = \sqrt{2} \times 4 = 4\sqrt{2}
\]
公式：I = 4\sqrt{2}
提示：注意第二段积分前有减号，所以是减去 (\sqrt{2}-2)，即加上 2-\sqrt{2}。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
总积分 = 第一段 + 第二段 = $(2\sqrt{2} + 2) + (-2 + 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$。
公式：$\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\sin x} \, dx = 4\sqrt{2}$
提示：合并同类项时注意符号。
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