华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
8.
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)-\tan (\tan x)}{x^{3}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限类型，确定方法
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin(\sin x) - \tan(\tan x) \to 0$，分母 $x^3 \to 0$，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于分子涉及复合函数，适合用泰勒展开（麦克劳林展开）到 $x^3$ 项求解。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x) - \tan(\tan x)}{x^3}$$
提示：注意分子是复合函数，不能直接用等价无穷小替换，需展开到足够高阶。
步骤 2/6
目标：展开 $\sin x$ 和 $\tan x$ 到 $x^3$ 项
写出 $\sin x$ 和 $\tan x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开：
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$
$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$
公式：$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \quad \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$
提示：注意 $\tan x$ 的展开中 $x^3$ 系数为正，与 $\sin x$ 不同。
步骤 3/6
目标：展开 $\sin(\sin x)$ 到 $x^3$ 项
令 $u = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，则 $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + O(u^5)$。
先计算 $u^3$：$u^3 = \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 + \cdots = x^3 - \frac{1}{2}x^5 + \cdots$，只需保留到 $x^3$ 项，故 $u^3 = x^3 + O(x^5)$。
代入：
$$\sin(\sin x) = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{6}(x^3) + O(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$
公式：$$\sin(\sin x) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$$
提示：复合函数展开时，内层展开代入外层，注意 $u^3$ 只需取到 $x^3$ 项，更高阶不影响结果。
步骤 4/6
目标：展开 $\tan(\tan x)$ 到 $x^3$ 项
令 $v = \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，则 $\tan v = v + \frac{v^3}{3} + O(v^5)$。
计算 $v^3$：$v^3 = \left(x + \frac{x^3}{3}\right)^3 + \cdots = x^3 + O(x^5)$，只需保留到 $x^3$ 项。
代入：
$$\tan(\tan x) = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) + \frac{1}{3}(x^3) + O(x^5) = x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$$
公式：$$\tan(\tan x) = x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$$
提示：注意 $\tan v$ 的展开中 $v^3/3$ 项符号为正，与 $\sin u$ 的负号不同。
步骤 5/6
目标：计算分子 $\sin(\sin x) - \tan(\tan x)$
将前两步结果相减：
$$\sin(\sin x) - \tan(\tan x) = \left(x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) - \left(x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)\right)$$
$$= -\frac{x^3}{3} - \frac{2x^3}{3} + O(x^5) = -x^3 + O(x^5)$$
公式：$$\sin(\sin x) - \tan(\tan x) = -x^3 + O(x^5)$$
提示：注意 $x$ 项抵消，$x^3$ 项系数合并为 $-1$，这是关键。
步骤 6/6
目标：求极限并得出结果
将分子代入原极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-x^3 + O(x^5)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left(-1 + O(x^2)\right) = -1$$
因此极限值为 $-1$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x) - \tan(\tan x)}{x^3} = -1$$
提示：当 $x \to 0$ 时，$O(x^5)/x^3 = O(x^2) \to 0$，所以极限为 $-1$。
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