华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
9．求和
$$
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}(2 n+1)}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别级数形式，联想到反正切函数的泰勒展开
观察到级数通项为 $(-1)^n \frac{1}{3^n (2n+1)}$，分母含有 $2n+1$ 和 $(-1)^n$，这提示我们使用反正切函数的泰勒展开：
$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \le 1$$
公式：$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$
提示：注意展开式中 $x$ 的指数是 $2n+1$，而分母是 $2n+1$，与题目中的 $3^n$ 需要匹配。
步骤 2/5
目标：构造合适的 $x$ 使得级数形式匹配
我们希望将 $\frac{1}{3^n}$ 融入 $x^{2n+1}$ 中。令 $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$，则：
$$x^{2n+1} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1} = \frac{1}{3^n \cdot \sqrt{3}}$$
代入反正切展开式得：
$$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+1) \cdot 3^n \cdot \sqrt{3}}$$
公式：$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1} = \frac{1}{3^n \sqrt{3}}$$
提示：注意 $\sqrt{3}$ 是常数，可以提到求和号外。
步骤 3/5
目标：分离常数，得到目标级数的表达式
将常数 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 从求和号中提出：
$$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3^n (2n+1)}$$
这正是所求级数乘以 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的形式。
公式：$$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3^n (2n+1)}$$
提示：这一步是逆向使用泰勒展开，将级数转化为已知函数值。
步骤 4/5
目标：计算反正切函数的特殊值
我们知道 $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，因此：
$$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$
公式：$$\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$
提示：这是常见特殊角，需要熟记。
步骤 5/5
目标：解出级数和
将特殊值代入等式：
$$\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3^n (2n+1)}$$
两边同时乘以 $\sqrt{3}$，得到：
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3^n (2n+1)} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{3^n (2n+1)} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$
提示：注意乘以 $\sqrt{3}$ 时不要遗漏分母的 $6$。
步骤 6/6
目标：得出原级数的最终结果
将上述结果代入原级数表达式：
\[
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}(2 n+1)} = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}
\]
公式：\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}(2 n+1)} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}
提示：最终结果化简为最简形式，注意π和√3的书写顺序。
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