华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
10．求
$$
\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\sqrt{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为抛物面 $z=\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2$ 在平面 $z=0$ 与 $z=2$ 之间的部分，方向取下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别积分形式并补面构造封闭曲面
题目中的第二类曲面积分为：
\[
\iint_{\Sigma}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\sqrt{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
\]
对比标准形式 \[\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy\] 可得：
\[P = z^2 + x,\quad Q = 0,\quad R = \sqrt{z}.\]
曲面 \Sigma 为抛物面 \[z = \frac{x^2+y^2}{2}\] 在 \[z=0\] 与 \[z=2\] 之间的部分，方向取下侧。
由于曲面不封闭，补上顶面 \[S_2: z=2,\ x^2+y^2 \le 4\] 方向取上侧（底面 \[z=0\] 退化为一点，面积为零，忽略）。则 \[\Sigma' = \Sigma \cup S_2\] 构成封闭曲面，方向外侧。
公式：\iint_{\Sigma'} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
提示：注意第二类曲面积分的方向性，补面时要保证与原曲面共同构成外侧封闭曲面。底面退化为点时其面积为零，积分也为零。
步骤 2/7
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
计算散度：
\[\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(z^2+x) = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{z}) = \frac{1}{2\sqrt{z}}.\]
所以散度为 \[1 + \frac{1}{2\sqrt{z}}.\]
由高斯公式：
\[\iint_{\Sigma'} \cdots = \iiint_{V} \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{z}}\right) dV,\]
其中 \[V\] 是抛物面 \[z = \frac{x^2+y^2}{2}\] 从 \[z=0\] 到 \[z=2\] 所围的区域。
公式：\iiint_{V} \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{z}}\right) dV
提示：散度计算要仔细，\[\frac{\partial R}{\partial z}\] 中 \[\sqrt{z}\] 的导数为 \[\frac{1}{2\sqrt{z}}\]，注意定义域 \[z>0\]。
步骤 3/7
目标：计算三重积分的第一部分
区域 \[V\] 用柱坐标表示：
\[x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ 0\le r \le \sqrt{2z},\ 0\le \theta \le 2\pi,\ 0\le z \le 2.\]
体积元 \[dV = r\,dr\,d\theta\,dz.\]
先计算 \[\iiint_{V} 1\,dV\]：
\[\int_{z=0}^2 \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{2z}} r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{0}^2 \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}(2z)\,d\theta\,dz = \int_{0}^2 2\pi z\,dz = 2\pi \cdot \frac{4}{2} = 4\pi.\]
公式：\iiint_{V} 1\,dV = 4\pi
提示：柱坐标下 \[r\] 的积分上限由 \[z = \frac{r^2}{2}\] 得 \[r = \sqrt{2z}\]，注意不要写错。
步骤 4/7
目标：计算三重积分的第二部分
计算 \[\iiint_{V} \frac{1}{2\sqrt{z}} dV\]：
先对 \[r,\theta\] 积分，截面积为 \[\pi (\sqrt{2z})^2 = 2\pi z\]，所以
\[\iiint_{V} \frac{1}{2\sqrt{z}} dV = \int_{0}^2 \frac{1}{2\sqrt{z}} \cdot 2\pi z\,dz = \int_{0}^2 \pi \sqrt{z}\,dz.\]
积分得：
\[\pi \cdot \frac{2}{3} z^{3/2}\Big|_{0}^2 = \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}\pi}{3}.\]
公式：\iiint_{V} \frac{1}{2\sqrt{z}} dV = \frac{4\sqrt{2}\pi}{3}
提示：先对 \[r,\theta\] 积分得到截面积再对 \[z\] 积分，可以简化计算。注意 \[\sqrt{z}\] 的原函数是 \[\frac{2}{3}z^{3/2}\]。
步骤 5/7
目标：得到封闭曲面积分结果
将两部分相加：
\[\iint_{\Sigma'} \cdots = 4\pi + \frac{4\sqrt{2}\pi}{3} = 4\pi\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{3}\right).\]
公式：\iint_{\Sigma'} = 4\pi\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{3}\right)
提示：此结果为封闭曲面外侧的积分值。
步骤 6/7
目标：计算补面（顶面）的积分
顶面 \[S_2: z=2\] 方向取上侧。由于 \[dz=0\]，只有 \[R\,dx\,dy\] 项非零：
\[\iint_{S_2} \sqrt{z}\,dx\,dy = \sqrt{2} \cdot \iint_{x^2+y^2 \le 4} dx\,dy = \sqrt{2} \cdot 4\pi = 4\sqrt{2}\pi.\]
公式：\iint_{S_2} \sqrt{z}\,dx\,dy = 4\sqrt{2}\pi
提示：上侧方向对应 \[dx\,dy\] 系数为正，面积直接计算圆盘面积 \[4\pi\]。
步骤 7/7
目标：由封闭曲面积分减去补面积分得到原积分
原曲面 \[\Sigma\] 取下侧，而封闭曲面 \[\Sigma'\] 取外侧，因此：
\[\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma'} - \iint_{S_2} = 4\pi + \frac{4\sqrt{2}\pi}{3} - 4\sqrt{2}\pi.\]
合并含 \[\sqrt{2}\pi\] 的项：
\[\frac{4\sqrt{2}\pi}{3} - 4\sqrt{2}\pi = 4\sqrt{2}\pi\left(\frac{1}{3} - 1\right) = -\frac{8\sqrt{2}\pi}{3}.\]
所以结果为：
\[4\pi - \frac{8\sqrt{2}\pi}{3} = \frac{12\pi - 8\sqrt{2}\pi}{3} = \frac{4\pi(3 - 2\sqrt{2})}{3}.\]
公式：\iint_{\Sigma} = \frac{4\pi(3-2\sqrt{2})}{3}
提示：注意符号：原曲面取下侧，补面取上侧，封闭曲面为外侧，因此原积分等于封闭曲面积分减去补面积分。
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