华东师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
11．已知 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=A$ ，求
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n+1}}{n+1}+\cdots+\frac{a_{2 n}}{2 n}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与已知条件
已知 \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)，要求计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n+2}}{n+2} + \cdots + \frac{a_{2n}}{2n} \)。求和从 \(k = n+1\) 到 \(k = 2n\)，共 \(n\) 项。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = A
提示：注意求和指标的范围，避免混淆项数。
步骤 2/5
目标：利用极限定义分解通项
当 \(k\) 很大时，\(a_k\) 接近 \(A\)，可设 \(a_k = A + \varepsilon_k\)，其中 \(\varepsilon_k \to 0\)（当 \(k \to \infty\)）。则原和式化为：
\[
\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{A + \varepsilon_k}{k} = A \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\varepsilon_k}{k}
\]
公式：a_k = A + \varepsilon_k, \quad \varepsilon_k \to 0
提示：分解时注意将常数项 \(A\) 与误差项 \(\varepsilon_k\) 分开处理。
步骤 3/5
目标：计算第一部分：调和数求和
第一部分为 \(A \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\)。利用调和数 \(H_m = \ln m + \gamma + o(1)\)，有：
\[
\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = H_{2n} - H_n = (\ln(2n) + \gamma) - (\ln n + \gamma) + o(1) = \ln 2 + o(1)
\]
因此当 \(n \to \infty\) 时，第一部分趋于 \(A \ln 2\)。
公式：H_m = \ln m + \gamma + o(1), \quad \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \to \ln 2
提示：注意调和数渐近公式中 \(\gamma\) 为欧拉常数，相减后抵消。
步骤 4/5
目标：估计第二部分：误差项求和趋于零
第二部分为 \(\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\varepsilon_k}{k}\)。由于 \(\varepsilon_k \to 0\)，对任意 \(\delta > 0\)，存在 \(N\) 使得当 \(k > N\) 时 \(|\varepsilon_k| < \delta\)。对足够大的 \(n\)，所有 \(k\) 满足 \(k > N\)，于是：
\[
\left| \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\varepsilon_k}{k} \right| \leq \delta \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} < \delta (\ln 2 + 1)
\]
由于 \(\delta\) 可任意小，故第二部分极限为 \(0\)。
公式：\left| \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\varepsilon_k}{k} \right| \leq \delta \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}
提示：利用 \(\varepsilon_k\) 的一致有界性进行放缩，注意 \(\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\) 有界。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终极限
原极限等于第一部分极限与第二部分极限之和：
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1}}{n+1} + \cdots + \frac{a_{2n}}{2n} \right) = A \ln 2 + 0 = A \ln 2
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{a_k}{k} = A \ln 2
提示：最终结果依赖于 \(A\) 和 \(\ln 2\)，注意 \(A\) 可能为任意实数。
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