华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $x_{1}>0$ ，对 $n \geq 1$ ，有 $x_{n+1}=\arctan x_{n}$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 是基本数列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知初始项 $x_1 > 0$，递推关系 $x_{n+1} = \arctan x_n$（$n \ge 1$）。要证明 $\{x_n\}$ 是基本数列，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，有 $|x_m - x_n| < \varepsilon$。
公式：$x_{n+1} = \arctan x_n$
提示：注意基本数列等价于柯西列，是实数完备性的重要概念。
步骤 2/5
目标：分析数列的单调性与有界性
由于 $x_1 > 0$，且对任意 $x > 0$，$\arctan x > 0$，故所有 $x_n > 0$。又因为对任意 $x > 0$，有 $\arctan x < x$（因为 $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \cdots$，且导数小于1），所以 $x_{n+1} = \arctan x_n < x_n$。因此数列严格递减且有下界0。
公式：$x_{n+1} < x_n$，$x_n > 0$
提示：单调递减且有下界是收敛的充分条件，这里利用 $\arctan x < x$ 是关键不等式。
步骤 3/5
目标：求极限值
由单调有界定理，数列收敛，设极限为 $L \ge 0$。对递推式两边取极限得 $L = \arctan L$。方程 $L = \arctan L$ 在实数范围内只有解 $L=0$（因为当 $L>0$ 时 $\arctan L < L$，当 $L<0$ 时 $\arctan L > L$，而 $L \ge 0$ 故唯一解为0）。因此 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。
公式：$L = \arctan L \Rightarrow L = 0$
提示：取极限时需保证极限存在，这里已由单调有界保证。
步骤 4/5
目标：利用收敛性证明基本数列
因为 $x_n \to 0$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n| < \varepsilon/2$。于是对任意 $m, n > N$，有 $|x_m - x_n| \le |x_m| + |x_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$。这直接验证了柯西条件，故 $\{x_n\}$ 是基本数列。
公式：$|x_m - x_n| \le |x_m| + |x_n| < \varepsilon$
提示：收敛数列必为柯西列，这是实数完备性的基本结论，也可直接使用。
步骤 5/5
目标：总结
数列 $\{x_n\}$ 单调递减且有下界，因此收敛于0，收敛数列必为基本数列，故得证。
提示：本题核心是利用单调有界定理和 $\arctan x < x$ 的不等式。
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