华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．$\displaystyle x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}-y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征方程
对于一阶线性偏微分方程 $P(x,y,z) \frac{\partial z}{\partial x} + Q(x,y,z) \frac{\partial z}{\partial y} = R(x,y,z)$，其特征方程为 $\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}$。本题中 $P = x^2$，$Q = -y^2$，$R = 1$，因此特征方程组为 $\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{-y^2} = \frac{dz}{1}$。
公式：\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{-y^2} = \frac{dz}{1}
提示：注意 $Q$ 的符号为负，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：求解第一个首次积分
取前两个等式 $\frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{-y^2}$，分离变量并积分：$\int \frac{dx}{x^2} = \int \frac{dy}{-y^2}$，得到 $-\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + C_1$。整理得 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = C_1'$，其中 $C_1' = -C_1$ 为任意常数。因此第一个首次积分为 $u = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$。
公式：\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \text{常数}
提示：积分时注意 $\int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x}$，不要忘记负号。
步骤 3/5
目标：求解第二个首次积分
取 $\frac{dx}{x^2} = dz$，积分得 $\int \frac{dx}{x^2} = \int dz$，即 $-\frac{1}{x} = z + C_2$，整理得 $z + \frac{1}{x} = -C_2$。令 $C_2' = -C_2$，则第二个首次积分为 $v = z + \frac{1}{x}$。
公式：z + \frac{1}{x} = \text{常数}
提示：也可以选择 $\frac{dy}{-y^2} = dz$ 来积分，结果等价但形式不同，最终通解需保持一致。
步骤 4/5
目标：写出通解形式
两个首次积分 $u$ 和 $v$ 之间满足任意函数关系 $v = F(u)$，即 $z + \frac{1}{x} = F\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)$。移项得到通解：$z = F\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) - \frac{1}{x}$，其中 $F$ 为任意可微函数。
公式：z = F\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) - \frac{1}{x}
提示：函数 $F$ 的形式由初始条件或边界条件确定，此处为通解。
步骤 5/5
目标：验证解的正确性
对通解 $z = F(u) - \frac{1}{x}$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = F'(u) \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{x^2}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = F'(u) \cdot \left( -\frac{1}{y^2} \right)$。代入原方程左边：$x^2 \left[ -\frac{F'(u)}{x^2} + \frac{1}{x^2} \right] - y^2 \left[ -\frac{F'(u)}{y^2} \right] = -F'(u) + 1 + F'(u) = 1$，满足方程。
公式：x^2 \frac{\partial z}{\partial x} - y^2 \frac{\partial z}{\partial y} = 1
提示：验证时注意链式法则，并确保 $F$ 可微。
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