华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．当 $p=0$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分形式
由于题目未明确给出 $I_p$ 的具体形式，根据常见题型，假设 $I_p = \int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx$，该积分在 $x=0$ 处可能有奇点。
公式：I_p = \int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx
提示：注意区分积分区间是 $(0,1)$ 还是 $(1,+\infty)$，不同区间敛散性不同。
步骤 2/5
目标：代入 p=0
当 $p=0$ 时，被积函数化为 $\frac{1}{x^0} = 1$，积分变为 $I_0 = \int_0^1 1 \, dx$。
公式：I_0 = \int_0^1 1 \, dx
提示：此时 $x=0$ 处函数值为常数1，没有瑕点。
步骤 3/5
目标：计算定积分
直接计算该定积分：$\int_0^1 1 \, dx = \left[ x \right]_0^1 = 1 - 0 = 1$。
公式：\int_0^1 1 \, dx = 1
提示：注意积分上下限代入时不要出错。
步骤 4/5
目标：判断敛散性
积分值为有限数1，因此该广义积分收敛。
提示：收敛的定义是积分值存在且有限。
步骤 5/5
目标：补充说明（其他可能情形）
若 $I_p = \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$，则 $p=0$ 时 $I_0 = \int_1^{+\infty} 1 \, dx$ 发散，因为 $\int_1^A 1 \, dx = A-1 \to +\infty$。但根据常见记号，本题采用第一种情形。
公式：\int_1^{+\infty} 1 \, dx \text{ 发散}
提示：注意区分积分区间，避免混淆。
步骤 6/7
目标：代入 $p=0$ 并判断敛散性
当 $p=0$ 时，被积函数为 $x^0 = 1$，积分变为常义定积分：
\[
I_0 = \int_0^1 1 \, dx = 1
\]
由于积分值为有限常数，因此积分收敛。
公式：I_0 = \int_0^1 1 \, dx = 1
提示：$p=0$ 属于 $p<1$ 的情形，可直接由第一步的结论得出收敛。
步骤 7/7
目标：总结结论
对于 $I_p = \int_0^1 x^{-p} \, dx$，当 $p<1$ 时收敛，当 $p \geq 1$ 时发散。特别地，当 $p=0$ 时，积分收敛。
公式：\text{收敛条件：} p < 1
提示：注意 $p=0$ 是收敛区间内的一个具体值。
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