华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．当 $p=1$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分形式
假设 $I_p = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$，当 $p=1$ 时，积分变为 $I_1 = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx$。
公式：I_1 = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx
提示：注意区分积分区间是 $(0,1]$ 还是 $[1,+\infty)$，但 $p=1$ 时两者均发散。
步骤 2/5
目标：写出反常积分的定义
由反常积分的定义：$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx$。
公式：\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx
提示：不要忘记极限符号，这是判断敛散性的关键。
步骤 3/5
目标：计算有限区间上的定积分
计算 $\int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln x \right]_{1}^{b} = \ln b - \ln 1 = \ln b$。
公式：\int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx = \ln b
提示：注意 $\ln 1 = 0$，结果化简为 $\ln b$。
步骤 4/5
目标：取极限判断敛散性
取极限 $\lim_{b \to +\infty} \ln b = +\infty$，极限不存在（无穷大），因此积分发散。
公式：\lim_{b \to +\infty} \ln b = +\infty
提示：当极限为无穷大时，反常积分发散。
步骤 5/5
目标：给出结论
因此，当 $p=1$ 时，$I_p$ 发散。
提示：结论应明确写出“发散”或“收敛”。
步骤 6/6
目标：总结敛散性结论
无论 $I_p$ 是无穷区间积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$ 还是瑕积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} \, dx$，当 $p=1$ 时，积分均发散。
提示：p=1 是这两种积分敛散性的临界点。
步骤 7/7
目标：总结结论
当 $p=1$ 时，$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x}$ 发散。
提示：注意区分收敛与发散：极限存在且有限为收敛。
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