华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．记 $\displaystyle I_{p}=\int_{2}^{+\infty} \frac{(\ln x)^{p} \sin x}{x} \mathrm{~d} x, p \in \mathbb{R}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分结构，明确研究目标
被积函数为 $f(x)=\frac{(\ln x)^p \sin x}{x}$，积分区间为 $[2,+\infty)$。由于 $\sin x$ 振荡，需分别讨论绝对收敛与条件收敛。通常需要确定参数 $p$ 的取值范围使得积分收敛。
公式：$I_p = \int_{2}^{+\infty} \frac{(\ln x)^p \sin x}{x} \, dx$
提示：注意 $\sin x$ 不趋于零，不能直接用比较判别法判断原积分，需考虑 Dirichlet 判别法。
步骤 2/4
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值积分 $\int_2^{+\infty} \frac{(\ln x)^p |\sin x|}{x} dx$。由于 $|\sin x|$ 的平均值为 $2/\pi$，且不趋于零，该积分与 $\int_2^{+\infty} \frac{(\ln x)^p}{x} dx$ 同敛散。令 $u=\ln x$，则 $du=dx/x$，积分化为 $\int_{\ln 2}^{+\infty} u^p du$。该积分收敛当且仅当 $p<-1$。因此，当 $p<-1$ 时原积分绝对收敛；当 $p\ge -1$ 时非绝对收敛。
公式：$\int_2^{+\infty} \frac{(\ln x)^p}{x} dx = \int_{\ln 2}^{+\infty} u^p du$ 收敛 $\iff p<-1$
提示：注意 $|\sin x|$ 不能直接替换为常数，但通过比较判别法（如 $|\sin x|\ge \sin^2 x$ 或平均值思想）可说明同敛散。
步骤 3/4
目标：应用 Dirichlet 判别法判断条件收敛
令 $g(x)=\frac{(\ln x)^p}{x}$，$h(x)=\sin x$。则原积分为 $\int_2^{+\infty} g(x)h(x)dx$。Dirichlet 判别法要求：(1) $g(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上单调趋于 $0$；(2) $\int_2^A h(x)dx$ 有界。对于 $g(x)$，求导得 $g'(x)=\frac{(\ln x)^{p-1}(p-\ln x)}{x^2}$。当 $x>e^p$ 时，$\ln x > p$，故 $g'(x)<0$，因此 $g(x)$ 在 $[\max(2,e^p),+\infty)$ 上单调递减；且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$（因为 $\ln x$ 增长慢于任何幂次）。而 $\int_2^A \sin x dx = -\cos A + \cos 2$，绝对值不超过 $2$，有界。故对任意实数 $p$，Dirichlet 判别法条件成立，积分条件收敛。
公式：$g'(x)=\frac{(\ln x)^{p-1}(p-\ln x)}{x^2}$，$\left|\int_2^A \sin x dx\right|\le 2$
提示：单调性只需在某个区间之后成立即可，不必在整个区间上单调。$p$ 为任意实数时 $g(x)\to 0$ 均成立。
步骤 4/4
目标：综合结论
由以上分析：当 $p<-1$ 时，积分绝对收敛；当 $p\ge -1$ 时，积分条件收敛。因此对任意实数 $p$，积分 $I_p$ 均收敛，无发散情形。
公式：无
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛：绝对收敛要求绝对值积分收敛，条件收敛仅要求原积分收敛但绝对值积分发散。
步骤 5/7
目标：计算关键积分 $\int_2^{+\infty} \frac{(\ln x)^p}{x}\,dx$ 的敛散性
令 $t=\ln x$，则 $x=e^t$，$\frac{dx}{x}=dt$。当 $x=2$ 时 $t=\ln 2$，$x\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$，积分化为：
$$
\int_2^{+\infty} \frac{(\ln x)^p}{x}\,dx = \int_{\ln 2}^{+\infty} t^p\,dt.
$$
该积分收敛当且仅当 $p<-1$。
公式：\int_{\ln 2}^{+\infty} t^p\,dt \text{ 收敛 } \iff p<-1
提示：换元后注意积分下限变为 $\ln 2$，不影响敛散性判断。
步骤 6/7
目标：综合判断绝对收敛性
由第4步和第5步，当 $p<-1$ 时，$\int \frac{(\ln x)^p}{x}\,dx$ 收敛，且振荡部分收敛，故绝对值积分收敛，原积分绝对收敛。当 $p\ge -1$ 时，$\int \frac{(\ln x)^p}{x}\,dx$ 发散，而 $|\sin x|$ 不趋于 0，故绝对值积分发散，原积分仅条件收敛。
公式：\text{绝对收敛 } \iff p<-1
提示：注意 $p=-1$ 时 $\int t^{-1}dt$ 发散（对数发散），属于条件收敛情形。
步骤 7/7
目标：给出最终结论
综上所述：
- 对任意实数 $p$，积分 $I_p$ 条件收敛。
- 当且仅当 $p<-1$ 时，$I_p$ 绝对收敛。
公式：I_p=\int_2^{+\infty} \frac{(\ln x)^p \sin x}{x}\,dx
提示：条件收敛与绝对收敛的区分是本题核心，注意 $p$ 的临界点为 $-1$。
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