华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．对 $n \geq 1$ ，设 $\displaystyle S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求极限函数
对任意固定的 $x>0$，当 $n\to\infty$ 时，分母中的 $n^2 x^2$ 趋于无穷大，因此
\[
\lim_{n\to\infty} S_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x}{1+n^2 x^2} = 0.
\]
所以极限函数为 $S(x)=0$，$x\in(0,+\infty)$。
公式：\lim_{n\to\infty} S_n(x)=0
提示：注意极限函数是常数0，但需要明确对每个固定的x成立。
步骤 2/6
目标：转化为一致收敛的判别条件
要证明 $S_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛到 $0$，只需证明
\[
\sup_{x>0} |S_n(x)-0| = \sup_{x>0} \frac{x}{1+n^2 x^2} \to 0 \quad (n\to\infty).
\]
公式：\sup_{x>0} \frac{x}{1+n^2 x^2} \to 0
提示：一致收敛要求上确界趋于0，而不是逐点收敛。
步骤 3/6
目标：求函数在x>0上的最大值
固定 $n$，考虑 $f_n(x)=\frac{x}{1+n^2 x^2}$，$x>0$。求导得
\[
f_n'(x)=\frac{1\cdot(1+n^2 x^2)-x\cdot(2n^2 x)}{(1+n^2 x^2)^2} = \frac{1 - n^2 x^2}{(1+n^2 x^2)^2}.
\]
令 $f_n'(x)=0$，得 $1-n^2 x^2=0$，即 $x=\frac{1}{n}$。当 $x<\frac{1}{n}$ 时 $f_n'(x)>0$，当 $x>\frac{1}{n}$ 时 $f_n'(x)<0$，故 $x=\frac{1}{n}$ 是最大值点。
公式：f_n'(x)=\frac{1 - n^2 x^2}{(1+n^2 x^2)^2}
提示：注意定义域是开区间(0,+∞)，极值点需在定义域内。
步骤 4/6
目标：计算最大值
最大值
\[
f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1/n}{1+n^2\cdot(1/n^2)} = \frac{1/n}{1+1} = \frac{1}{2n}.
\]
公式：\sup_{x>0} \frac{x}{1+n^2 x^2} = \frac{1}{2n}
提示：计算时注意约分，避免代数错误。
步骤 5/6
目标：验证一致收敛
于是
\[
\sup_{x>0} |S_n(x)-0| = \frac{1}{2n} \to 0 \quad (n\to\infty).
\]
由定义，函数列在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛到 $0$。
公式：\frac{1}{2n} \to 0
提示：上确界趋于0是判断一致收敛的充要条件。
步骤 6/6
目标：结论
因此，函数列 $\{S_n(x)\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
提示：最终结论要明确区间和极限函数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。