华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．当 $n \geq 1$ 时，$\displaystyle T_{n}(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+n^{2} x^{2}}$ ，问：函数列 $\left\{T_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是否一致收敛？请证明你的结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求逐点极限函数
对于任意固定的 $x>0$，当 $n\to\infty$ 时，分母中的 $n^2 x^2$ 趋于无穷大，因此 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} T_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+n^2 x^2} = 0$。所以逐点极限函数为 $f(x)=0$，定义在 $(0,+\infty)$ 上。
公式：\lim_{n\to\infty} T_n(x) = 0
提示：注意逐点极限是对每个固定的 $x$ 取极限，不要与一致收敛混淆。
步骤 2/5
目标：建立一致收敛的判别条件
函数列一致收敛于 $0$ 当且仅当 $\displaystyle \sup_{x>0} |T_n(x)-0| \to 0 \ (n\to\infty)$。因此需要求出每个 $n$ 下 $g_n(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+n^2 x^2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值。
公式：\sup_{x>0} |T_n(x)-0| \to 0
提示：一致收敛要求所有 $x$ 上的误差上界趋于零，不能只考虑个别点。
步骤 3/5
目标：求导找极值点
令 $g_n(x)=x^{1/2}(1+n^2 x^2)^{-1}$，求导得：
$$g_n'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+n^2 x^2)} - \frac{2 n^2 x^{3/2}}{(1+n^2 x^2)^2}$$
通分后分子为 $1-3n^2 x^2$，令导数为零得 $1-3n^2 x^2=0$，解得 $x=\frac{1}{\sqrt{3}\,n}$。
公式：g_n'(x)=\frac{1-3n^2 x^2}{2\sqrt{x}(1+n^2 x^2)^2}
提示：求导时注意使用链式法则和商法则，通分时小心符号。
步骤 4/5
目标：计算最大值
将 $x=\frac{1}{\sqrt{3}n}$ 代入 $g_n(x)$：
$$g_n\left(\frac{1}{\sqrt{3}n}\right)=\frac{\sqrt{1/(\sqrt{3}n)}}{1+n^2\cdot\frac{1}{3n^2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{3}\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}$$
因此 $\displaystyle \sup_{x>0}|T_n(x)-0| = \frac{3}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{n}}$。
公式：\sup_{x>0}|T_n(x)-0| = \frac{3}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{n}}
提示：注意 $\sqrt[4]{3}$ 是常数，不要遗漏分母中的 $\sqrt{n}$。
步骤 5/5
目标：判断一致收敛性并得出结论
由于 $\displaystyle \frac{3}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{n}} \to 0$ 当 $n\to\infty$，即 $\sup_{x>0}|T_n(x)-0|\to 0$，根据一致收敛的定义，函数列 $\{T_n(x)\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty}\sup_{x>0}|T_n(x)-0|=0
提示：一致收敛的充分必要条件是最大值趋于零，这里已经验证。
步骤 6/6
目标：判断一致收敛性
由于 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}M_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4\cdot3^{1/4}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}=0$，所以 $\sup_{x>0}|T_n(x)-0|\to 0$，故函数列在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty}\sup_{x>0}|T_n(x)-0|=0
提示：上确界趋于0是一致收敛的充要条件，注意与逐点收敛的区别。
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