华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle \Sigma$ 是单位球面 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ ，记 $\displaystyle I_{p}=\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{p} \mathrm{~d} S, p$ 是正整数，求 $\displaystyle I_{1}, I_{2}$ ．九．解答如下问题：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分对象与对称性分析
给定单位球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=1$，曲面积分 $I_p = \iint_\Sigma (x+y+z)^p \, dS$，$p$ 为正整数。先求 $p=1$ 和 $p=2$。由于球面关于坐标平面对称，可利用奇偶性简化。
公式：$\iint_\Sigma f(x,y,z) \, dS$ 在对称区域上，若 $f$ 关于某变量为奇函数则积分为零。
提示：注意球面是封闭对称曲面，奇函数在对称区域上的积分为零。
步骤 2/6
目标：计算 I₁
将 $I_1 = \iint_\Sigma (x+y+z) \, dS$ 拆分为三个积分：$\iint_\Sigma x \, dS$，$\iint_\Sigma y \, dS$，$\iint_\Sigma z \, dS$。由于 $x$ 关于 $yz$ 平面对称且为奇函数，$\iint_\Sigma x \, dS = 0$；同理 $y$ 和 $z$ 的积分也为零。因此 $I_1 = 0$。
公式：$\iint_\Sigma x \, dS = \iint_\Sigma y \, dS = \iint_\Sigma z \, dS = 0$
提示：不要忘记三个部分分别判断奇偶性，不能直接认为整个和为零。
步骤 3/6
目标：展开 I₂ 的被积函数
对于 $p=2$，有 $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$。在球面上 $x^2+y^2+z^2 = 1$，所以 $I_2 = \iint_\Sigma 1 \, dS + 2\iint_\Sigma (xy+yz+zx) \, dS$。
公式：$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$
提示：展开时注意交叉项系数为2。
步骤 4/6
目标：计算第一项：单位球面面积
$\iint_\Sigma 1 \, dS$ 即为单位球面的表面积，半径为1，面积为 $4\pi$。
公式：$\iint_\Sigma 1 \, dS = 4\pi$
提示：球面面积公式 $4\pi R^2$，这里 $R=1$。
步骤 5/6
目标：计算交叉项积分
考虑 $\iint_\Sigma xy \, dS$：在球面上，$x$ 和 $y$ 的符号变化独立，$xy$ 关于 $x$ 或 $y$ 为奇函数，因此积分为零。同理 $yz$ 和 $zx$ 的积分也为零。所以 $\iint_\Sigma (xy+yz+zx) \, dS = 0$。
公式：$\iint_\Sigma xy \, dS = \iint_\Sigma yz \, dS = \iint_\Sigma zx \, dS = 0$
提示：交叉项是奇函数，但需注意对称性：例如 $xy$ 关于 $x$ 是奇函数，而区域关于 $x$ 对称。
步骤 6/6
目标：得出 I₂ 的结果
因此 $I_2 = 4\pi + 2 \times 0 = 4\pi$。
公式：$I_2 = 4\pi$
提示：最终结果简洁，注意不要遗漏系数。
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