华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\Gamma}|\sqrt{3} y-x| \mathrm{d} x-5 z \mathrm{~d} z$ ，其中
$$
\Gamma:\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \\
x^{2}+y^{2}=2 z
\end{array}\right.
$$
从 $z$ 轴正向往坐标原点看去取逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解曲线方程并确定曲线形状
曲线由球面 $x^2+y^2+z^2=8$ 和旋转抛物面 $x^2+y^2=2z$ 相交得到。将 $x^2+y^2=2z$ 代入球面方程得 $2z+z^2=8$，即 $z^2+2z-8=0$，解得 $z=2$ 或 $z=-4$。由于 $x^2+y^2=2z \ge 0$，故 $z=2$。代入得 $x^2+y^2=4$，因此曲线是平面 $z=2$ 上的圆，半径为 $2$。
公式：$x^2+y^2=4,\ z=2$
提示：注意 $z$ 不能为负，否则 $x^2+y^2$ 为负，不符合实际。
步骤 2/6
目标：确定曲线的方向并参数化
从 $z$ 轴正向往原点看，逆时针方向对应参数 $ heta$ 增加。令 $x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta,\ z=2$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
公式：$x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta,\ z=2$
提示：方向与参数 $ heta$ 的增量一致，确保逆时针。
步骤 3/6
目标：处理绝对值并简化被积表达式
代入参数得 $\sqrt{3}y-x = 2\sqrt{3}\sin\theta - 2\cos\theta = 4\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$，故 $|\sqrt{3}y-x| = 4\left|\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)\right|$。由于 $z=2$ 常数，$dz=0$，第二项 $-5z\,dz=0$。曲线积分化为 $I = \oint_\Gamma |\sqrt{3}y-x|\,dx$，其中 $dx = -2\sin\theta\,d\theta$，所以 $I = -8\int_0^{2\pi} \left|\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)\right| \sin\theta\,d\theta$。
公式：$|\sqrt{3}y-x| = 4\left|\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)\right|$
提示：绝对值需要分段处理，注意 $dz=0$ 简化了积分。
步骤 4/6
目标：换元并利用三角恒等式展开
令 $t = \theta - \frac{\pi}{6}$，则 $\theta = t + \frac{\pi}{6}$，$d\theta = dt$，积分限变为 $t$ 从 $-\frac{\pi}{6}$ 到 $\frac{11\pi}{6}$。利用周期性将积分区间平移到 $[0,2\pi]$，得 $I = -8\int_0^{2\pi} |\sin t| \sin\left(t+\frac{\pi}{6}\right) dt$。展开 $\sin\left(t+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t$，故 $I = -8\int_0^{2\pi} |\sin t| \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t \right) dt$。
公式：$\sin\left(t+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t$
提示：换元后注意积分限的变换，利用周期性简化区间。
步骤 5/6
目标：分段积分去掉绝对值
在 $[0,2\pi]$ 上，$|\sin t| = \begin{cases} \sin t, & 0 \le t \le \pi \\ -\sin t, & \pi \le t \le 2\pi \end{cases}$。
第一段 $0$ 到 $\pi$：$I_1 = \int_0^\pi \sin t \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t \right) dt = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_0^\pi \sin^2 t\,dt + \frac{1}{2}\int_0^\pi \sin t\cos t\,dt$。计算得 $\int_0^\pi \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}$，$\int_0^\pi \sin t\cos t\,dt = 0$，故 $I_1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$。
第二段 $\pi$ 到 $2\pi$：$I_2 = \int_\pi^{2\pi} (-\sin t) \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t \right) dt = -\frac{\sqrt{3}}{2}\int_\pi^{2\pi} \sin^2 t\,dt - \frac{1}{2}\int_\pi^{2\pi} \sin t\cos t\,dt$。计算得 $\int_\pi^{2\pi} \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}$，$\int_\pi^{2\pi} \sin t\cos t\,dt = 0$，故 $I_2 = -\frac{\sqrt{3}\pi}{4}$。
公式：$\int_0^\pi \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}$，$\int_\pi^{2\pi} \sin^2 t\,dt = \frac{\pi}{2}$
提示：注意 $\sin t\cos t$ 在 $[0,\pi]$ 和 $[\pi,2\pi]$ 上的积分均为 $0$，可利用对称性或直接计算。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
总积分 $\int_0^{2\pi} |\sin t|\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t + \frac{1}{2}\cos t \right) dt = I_1 + I_2 = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} = 0$，因此 $I = -8 \times 0 = 0$。
公式：$I = -8 \times 0 = 0$
提示：最终结果为 $0$，注意系数 $-8$ 不要遗漏。
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