华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．$f$ 在 $[0,1]$ 上可积，说明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回顾定积分的定义
若函数 $f$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可积，则对任意划分和介点，当划分的最大子区间长度趋于 $0$ 时，黎曼和的极限存在且等于定积分值。特别地，将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间：$[0,\frac{1}{n}], [\frac{1}{n},\frac{2}{n}], \dots, [\frac{n-1}{n},1]$，每个小区间长度为 $\Delta x = \frac{1}{n}$。
公式：\int_0^1 f(x)\,dx = \lim_{\|\Delta\| \to 0} \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k
提示：注意可积性保证了极限的存在性，且与划分和介点的选取无关。
步骤 2/4
目标：构造左端点黎曼和
对于第 $k$ 个小区间 $[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}]$，取左端点 $x_k^* = \frac{k-1}{n}$，则黎曼和为：
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$$
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right)
提示：左端点选取是黎曼和的一种特殊形式，注意与右端点或中点取法的区别。
步骤 3/4
目标：由可积性得到极限
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积，根据黎曼积分的定义，当划分的最大子区间长度 $\|\Delta\| = \frac{1}{n} \to 0$ 时，黎曼和收敛到定积分。因此：
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$$
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx
提示：这里 $n$ 等分是特殊的划分，但可积性保证了极限与划分方式无关，因此结论成立。
步骤 4/4
目标：说明结论
该等式是黎曼积分定义的一个直接推论，只需 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积即可，无需额外条件。
公式：\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right)
提示：注意区分可积与连续的关系：可积不一定连续，但该极限仍然成立。
步骤 5/5
目标：补充严谨性说明
注意：黎曼可积的定义要求极限与划分和取样点无关。等分且取左端点只是其中一种特殊情形，因此其极限必然等于积分值。若 $f$ 不可积，则等式不一定成立。另外，对于有界函数，可积的充分必要条件是几乎处处连续，但本题已假设可积，故无需讨论。
公式：无新公式
提示：常见误解：认为需要 $f$ 连续才能取左端点极限，实际上可积性已足够。
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