华东理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．对 $n \geq 1$ ，定义 $\displaystyle A_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n} k \sin \left(\frac{k-1}{n} \pi\right)}{n^{2}}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将表达式改写为便于识别黎曼和的形式
给定 $A_n = \frac{\sum_{k=1}^n k \sin\left(\frac{k-1}{n}\pi\right)}{n^2}$。将分子中的 $k$ 写成 $n \cdot \frac{k}{n}$，得到：
$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \sin\left(\frac{k-1}{n}\pi\right)$$
公式：A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \sin\left(\frac{k-1}{n}\pi\right)
提示：注意分母 $n^2$ 与分子中 $k$ 的配合，提取一个 $\frac{1}{n}$ 因子后，剩余部分可视为函数在分点上的取值。
步骤 2/5
目标：精确拆分求和式，分离出黎曼和部分和余项
令 $x_k = \frac{k-1}{n}$，则 $\frac{k}{n} = x_k + \frac{1}{n}$，代入得：
$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( x_k + \frac{1}{n} \right) \sin(\pi x_k) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \sin(\pi x_k) + \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sin(\pi x_k)$$
公式：A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \sin(\pi x_k) + \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sin(\pi x_k)
提示：这里 $x_k$ 是区间 $[0,1]$ 上的左端点，步长 $\Delta x = \frac{1}{n}$。
步骤 3/5
目标：分别求两部分的极限
第一部分：$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \sin(\pi x_k)$ 是函数 $f(x)=x\sin(\pi x)$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，极限为 $\int_0^1 x \sin(\pi x) \, dx$。
第二部分：由于 $|\sin(\pi x_k)| \le 1$，有 $\left| \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sin(\pi x_k) \right| \le \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$，故极限为 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \sin(\pi x_k) = \int_0^1 x \sin(\pi x) \, dx, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sin(\pi x_k) = 0
提示：注意黎曼和的定义：$\frac{1}{n}\sum f(x_k)$ 当 $n\to\infty$ 时趋于 $\int_0^1 f(x)dx$，这里 $x_k$ 是左端点。
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $I = \int_0^1 x \sin(\pi x) \, dx$。使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = \sin(\pi x) dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{\cos(\pi x)}{\pi}$。
$$I = \left[ -x \frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 + \frac{1}{\pi} \int_0^1 \cos(\pi x) \, dx$$
代入上下限：$x=1$ 时，$-1 \cdot \frac{\cos \pi}{\pi} = -1 \cdot \frac{-1}{\pi} = \frac{1}{\pi}$；$x=0$ 时为 $0$。
$$\frac{1}{\pi} \int_0^1 \cos(\pi x) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \right]_0^1 = 0$$
故 $I = \frac{1}{\pi}$。
公式：\int_0^1 x \sin(\pi x) \, dx = \frac{1}{\pi}
提示：分部积分时注意符号，$\cos\pi = -1$，代入后得到 $\frac{1}{\pi}$。
步骤 5/5
目标：得出最终极限
综合以上结果，$\lim_{n\to\infty} A_n = \frac{1}{\pi}$。
公式：\lim_{n\to\infty} A_n = \frac{1}{\pi}
提示：最终答案是一个简洁的常数，注意检查黎曼和部分是否准确对应积分区间。
步骤 6/6
目标：得出最终极限
将边界项和积分结果相加：$\frac{1}{\pi} + 0 = \frac{1}{\pi}$。因此
$$\lim_{n\to\infty} A_n = \frac{1}{\pi}.$$
提示：最终结果简洁，注意检查计算过程。
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