华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} \ln \frac{2+x}{2-x}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将对数部分进行泰勒展开
将 $\ln\frac{2+x}{2-x}$ 分解为 $\ln(2+x)-\ln(2-x)$，并在 $x=0$ 处展开：
$\ln(2+x)=\ln2+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{24}-\frac{x^4}{64}+O(x^5)$
$\ln(2-x)=\ln2-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{24}-\frac{x^4}{64}+O(x^5)$
相减得：
$\ln\frac{2+x}{2-x}=x+\frac{x^3}{12}+O(x^5)$
公式：\ln\frac{2+x}{2-x}=x+\frac{x^3}{12}+O(x^5)
提示：注意 $\ln(2-x)$ 展开时，$\ln(1-\frac{x}{2})$ 的符号要逐项处理，避免符号错误。
步骤 2/4
目标：将展开式代入原表达式中的对数项
原式中的项为 $-\frac{2}{x^3}\ln\frac{2+x}{2-x}$，代入展开式：
$-\frac{2}{x^3}\left(x+\frac{x^3}{12}+O(x^5)\right)=-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{6}+O(x^2)$
公式：-\frac{2}{x^3}\ln\frac{2+x}{2-x}=-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{6}+O(x^2)
提示：注意 $\frac{2}{x^3}\cdot x = \frac{2}{x^2}$，$\frac{2}{x^3}\cdot\frac{x^3}{12}=\frac{1}{6}$，高阶项 $O(x^5)/x^3=O(x^2)$。
步骤 3/4
目标：合并整个表达式并化简
原式为 $1+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}\ln\frac{2+x}{2-x}$，代入上一步结果：
$1+\frac{2}{x^2}+\left(-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{6}+O(x^2)\right)=1-\frac{1}{6}+O(x^2)=\frac{5}{6}+O(x^2)$
公式：1+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}\ln\frac{2+x}{2-x}=\frac{5}{6}+O(x^2)
提示：$\frac{2}{x^2}$ 项正好抵消，这是关键简化步骤，注意不要遗漏常数项。
步骤 4/4
目标：取极限得到最终结果
当 $x\to 0$ 时，$O(x^2)\to 0$，因此极限值为 $\frac{5}{6}$。
公式：\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}\ln\frac{2+x}{2-x}\right)=\frac{5}{6}
提示：高阶无穷小项在取极限时趋于0，只需保留常数项。
步骤 5/5
目标：取极限得到最终结果
当 \(x \to 0\) 时，所有含 \(x\) 的高阶项（如 \(\frac{x^2}{40}\)）均趋于 0，因此极限为常数 \(\frac{5}{6}\)。
公式：\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}\ln\frac{2+x}{2-x}\right)=\frac{5}{6}
提示：确保展开到足够阶数（至少到 \(x^3\) 项），否则可能无法正确抵消。
步骤 6/7
目标：代入原极限表达式并化简
原式为：
$$1 + \frac{2}{x^2} - \left( \frac{2}{x^2} + \frac{1}{6} + O(x^2) \right) = 1 - \frac{1}{6} + O(x^2)$$
公式：1 + \frac{2}{x^2} - \left( \frac{2}{x^2} + \frac{1}{6} + O(x^2) \right) = \frac{5}{6} + O(x^2)
提示：这里 $\frac{2}{x^2}$ 项恰好抵消，剩下常数项。
步骤 7/7
目标：取极限得到最终结果
当 $x \to 0$ 时，$O(x^2) \to 0$，因此极限为 $\frac{5}{6}$。
公式：\lim_{x \to 0} \left(1+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3} \ln \frac{2+x}{2-x}\right) = \frac{5}{6}
提示：确保展开到足够阶数，否则可能无法抵消奇异项。
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