华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．求函数
$$
f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x}
$$
在 $x=0$ 处的泰勒展开式．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆已知展开式
我们知道，当 $|x|<1$ 时，有
\[
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n
\]
以及
\[
\ln(1+x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} x^m
\]
题目中的函数是这两个函数的乘积，因此我们可以利用级数的乘法来得到展开式。
公式：\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n, \quad \ln(1+x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} x^m
提示：注意第二个级数从 $m=1$ 开始，没有常数项。
步骤 2/5
目标：将函数写成级数乘积形式
将 $f(x)$ 表示为两个级数的乘积：
\[
f(x) = \left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \right) \cdot \left( \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} x^m \right)
\]
公式：f(x) = \left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \right) \left( \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} x^m \right)
提示：注意两个级数的求和指标起始不同。
步骤 3/5
目标：合并为单一求和形式
设总幂次为 $k$，则 $n+m=k$，且 $m\ge 1$，所以 $n = k-m$，$m$ 从 $1$ 到 $k$。于是：
\[
f(x) = \sum_{k=1}^\infty \left[ \sum_{m=1}^{k} (-1)^{k-m} \cdot \frac{(-1)^{m-1}}{m} \right] x^k
\]
符号部分化简：$(-1)^{k-m} \cdot (-1)^{m-1} = (-1)^{k-1}$，与 $m$ 无关，因此可以提出来：
\[
f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \left( \sum_{m=1}^{k} \frac{1}{m} \right) x^k
\]
公式：f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \left( \sum_{m=1}^{k} \frac{1}{m} \right) x^k
提示：注意符号化简时不要出错，$(-1)^{k-m}\cdot(-1)^{m-1}=(-1)^{k-1}$。
步骤 4/5
目标：引入调和数记号
记第 $k$ 个调和数为 $H_k = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1k$，于是：
\[
f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} H_k \, x^k
\]
这就是我们要的麦克劳林展开式。
公式：f(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} H_k \, x^k, \quad H_k = \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}
提示：调和数 $H_k$ 是常见记号，注意其定义。
步骤 5/5
目标：检查常数项并给出最终答案
当 $x=0$ 时，$f(0)=\frac{\ln 1}{1}=0$，所以展开式没有常数项，这也符合求和从 $k=1$ 开始。最终展开式为：
\[
\boxed{f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}H_k x^k,\quad |x|<1}
\]
其中 $H_k=1+\frac12+\cdots+\frac1k$。
公式：f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}H_k x^k,\quad |x|<1
提示：确认收敛区间为 $|x|<1$，这是由两个已知级数的收敛区间决定的。
步骤 6/6
目标：写出前几项作为示例
计算前几项：
- \( k=1 \): \( H_1=1 \)，项为 \( x \)
- \( k=2 \): \( -H_2 = -(1+\frac12) = -\frac32 \)，项为 \( -\frac32 x^2 \)
- \( k=3 \): \( +H_3 = 1+\frac12+\frac13 = \frac{11}{6} \)，项为 \( \frac{11}{6} x^3 \)
- \( k=4 \): \( -H_4 = -\frac{25}{12} \)，项为 \( -\frac{25}{12} x^4 \)
所以前几项为：
\[ f(x) = x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{6}x^3 - \frac{25}{12}x^4 + \cdots \]
公式：f(x)=x-\frac{3}{2}x^2+\frac{11}{6}x^3-\frac{25}{12}x^4+\cdots
提示：注意符号交替，系数为调和数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。