华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．将函数 $f(x)=\pi-x, x \in[0, \pi)$ 展开成正弦级数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确正弦级数的展开形式与系数公式
将定义在 $[0, \pi)$ 上的函数 $f(x)$ 展开成正弦级数，需要先对函数进行奇延拓，然后展开为傅里叶级数（只保留正弦项）。正弦级数的一般形式为：
$$ f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx) $$
其中系数 $b_n$ 的计算公式为：
$$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx $$
注意：由于区间长度为 $\pi$，公式前的系数为 $\frac{2}{\pi}$。
公式：b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx
提示：正弦级数对应奇延拓，因此展开式中没有余弦项和常数项。系数公式中的积分区间是 $[0, \pi]$，与函数定义域一致。
步骤 2/6
目标：代入函数并拆分积分
已知 $f(x) = \pi - x$，代入系数公式：
$$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (\pi - x) \sin(nx) \, dx $$
将积分拆分为两个部分：
$$ b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \pi \int_0^\pi \sin(nx) \, dx - \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx \right] $$
公式：b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \pi \int_0^\pi \sin(nx) \, dx - \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx \right]
提示：拆分积分时注意符号：$\pi - x$ 拆成 $\pi$ 和 $-x$，因此第二个积分前有负号。
步骤 3/6
目标：计算第一个积分 $\int_0^\pi \sin(nx) \, dx$
直接计算：
$$ \int_0^\pi \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi = -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos 0}{n} = -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n} $$
公式：\int_0^\pi \sin(nx) \, dx = \frac{1 - (-1)^n}{n}
提示：注意 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，这是常见结果。
步骤 4/6
目标：计算第二个积分 $\int_0^\pi x \sin(nx) \, dx$（分部积分法）
使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = \sin(nx) \, dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{\cos(nx)}{n}$。
$$ \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx = \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi + \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) \, dx $$
先计算代入部分：
$$ \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi = -\pi \frac{\cos(n\pi)}{n} - 0 = -\frac{\pi (-1)^n}{n} $$
再计算积分部分：
$$ \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) \, dx = \frac{1}{n} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi = 0 $$
因此：
$$ \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n} $$
公式：\int_0^\pi x \sin(nx) \, dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n}
提示：分部积分时注意符号：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，这里 $uv$ 项代入后得到负值。
步骤 5/6
目标：代入积分结果，化简求 $b_n$
将两个积分结果代入 $b_n$ 表达式：
$$ b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \pi \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n} - \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) \right] $$
注意：减去第二个积分结果 $\left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right)$ 相当于加上 $\frac{\pi (-1)^n}{n}$，因此：
$$ b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{\pi(1 - (-1)^n)}{n} + \frac{\pi (-1)^n}{n} \right] = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} \left( 1 - (-1)^n + (-1)^n \right) = \frac{2}{n} $$
验证：当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，则 $1 - (-1) + (-1) = 1$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，则 $1 - 1 + 1 = 1$。因此对所有正整数 $n$，$b_n = \frac{2}{n}$。
公式：b_n = \frac{2}{n}
提示：化简时注意括号内的符号处理，避免遗漏。最终结果与 $n$ 的奇偶性无关，这是本题的一个特点。
步骤 6/6
目标：写出正弦级数展开式
将求得的系数 $b_n = \frac{2}{n}$ 代入正弦级数形式，得到：
$$ f(x) = \pi - x \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n} \sin(nx), \quad x \in [0, \pi) $$
在端点 $x=0$ 或 $x=\pi$ 处，级数收敛到 $0$（因为奇延拓后函数在这些点跳跃，收敛到左右极限的平均值），但题目只要求在 $[0, \pi)$ 上展开，因此上述表达式即为答案。
公式：\pi - x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}, \quad x\in[0,\pi)
提示：注意：正弦级数在区间端点处可能不收敛到函数值，但本题区间是半开区间 $[0, \pi)$，因此表达式有效。
步骤 7/7
目标：写出正弦级数展开式
将 $b_n$ 代入正弦级数形式，得到：
$$f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n} \sin(nx)$$
在区间 $(0,\pi)$ 内，该级数收敛到 $\pi-x$；在端点 $x=0$ 和 $x=\pi$ 处，级数收敛到 $0$（因为奇延拓后函数值为 $0$），与原函数在端点可能不一致。
公式：$\pi - x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx),\quad x\in(0,\pi)$
提示：注意：正弦级数在端点处不一定等于原函数值，这是傅里叶级数的吉布斯现象。
步骤 8/8
目标：写出正弦级数展开式
所以 $f(x)=\pi-x$ 在 $[0,\pi)$ 上的正弦级数为 $\pi - x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx)$，$x \in [0,\pi)$。
提示：注意级数从 $n=1$ 开始，且仅在 $[0,\pi)$ 上成立，端点处可能收敛到平均值。
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