华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
4．求曲线积分
$$
\int_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$
其中 $\Gamma$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，其方向为从 $z$ 轴正方向向下看的逆时针方向。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确曲线与方向
曲线 $\Gamma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，是一个空间椭圆。方向规定为从 $z$ 轴正方向向下看的逆时针方向，即视线沿 $z$ 轴负方向，此时曲线在 $xy$ 平面上的投影是圆 $x^2+y^2=4$，方向为逆时针。
公式：x^2+y^2=4, \quad x+y+z=0
提示：注意方向与投影的关系：从 $z$ 轴正方向向下看，逆时针方向对应投影圆逆时针。
步骤 2/7
目标：应用斯托克斯公式
记向量场 $\mathbf{F}=(P,Q,R)=(y-z,\;z-x,\;x-y)$，由斯托克斯公式：
$$\int_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$$
其中 $S$ 取平面 $x+y+z=0$ 上被圆柱截得的椭圆盘。
公式：\int_{\Gamma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS
提示：选取曲面时，应以 $\Gamma$ 为边界，且方向与曲线方向满足右手定则。
步骤 3/7
目标：计算旋度
计算旋度：
$$\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y-z & z-x & x-y \end{vmatrix} = (-2,\;-2,\;-2)$$
公式：\nabla\times\mathbf{F}=(-2,-2,-2)
提示：计算旋度时注意偏导顺序，避免符号错误。
步骤 4/7
目标：确定法向量方向
平面 $x+y+z=0$ 的法向量为 $(1,1,1)$。根据右手定则：从 $z$ 轴正方向向下看曲线为逆时针，对应法向量应指向 $z$ 轴负方向，故取法向量 $(-1,-1,-1)$，单位化得 $\mathbf{n}=\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}$。
公式：\mathbf{n}=\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}
提示：方向判断：视线沿 $-z$ 方向，逆时针旋转对应右手拇指指向 $-z$，即法向量指向 $-z$。
步骤 5/7
目标：计算旋度与法向量的点积
$$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = (-2,-2,-2)\cdot\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}} = \frac{2+2+2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$
公式：(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}=2\sqrt{3}
提示：结果为常数，简化后续面积分计算。
步骤 6/7
目标：求椭圆盘面积
曲面 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影是圆 $x^2+y^2=4$，面积 $4\pi$。平面 $x+y+z=0$ 与 $xy$ 平面的夹角余弦为 $\cos\theta = \frac{|(1,1,1)\cdot(0,0,1)|}{\|(1,1,1)\|\cdot\|(0,0,1)\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。故椭圆盘面积：
$$\text{Area}(S) = \frac{4\pi}{\cos\theta} = \frac{4\pi}{1/\sqrt{3}} = 4\pi\sqrt{3}$$
公式：\text{Area}(S)=\frac{\text{投影面积}}{|\cos\theta|}=4\pi\sqrt{3}
提示：平面与投影面夹角余弦的绝对值用于面积换算。
步骤 7/7
目标：计算积分值
由斯托克斯公式：
$$I = \iint_S 2\sqrt{3}\,dS = 2\sqrt{3} \cdot \text{Area}(S) = 2\sqrt{3} \cdot 4\pi\sqrt{3} = 8\pi \cdot 3 = 24\pi$$
公式：I=24\pi
提示：注意常数因子相乘时 $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$。
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