华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
5．计算
$$
\iint_{D} \frac{9 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $D$ 为第一象限内四条曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $y^{2}=3 x$ 围成的有界闭区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域与被积函数，确定变量替换
积分区域 $D$ 由四条曲线围成：$xy=1$，$xy=3$，$y^2=x$，$y^2=3x$，且位于第一象限（$x>0, y>0$）。被积函数为 $\frac{9x}{y^2+xy^3} = \frac{9x}{y^2(1+xy)}$。观察边界，$xy$ 和 $\frac{y^2}{x}$ 均为常数，因此令 $u = xy$，$v = \frac{y^2}{x}$，则区域变换为 $1 \le u \le 3$，$1 \le v \le 3$。
公式：u = xy, \quad v = \frac{y^2}{x}
提示：注意第一象限条件确保 $x,y>0$，变换后 $u,v>0$。
步骤 2/5
目标：反解 $x,y$ 并计算雅可比行列式
由 $u=xy$ 和 $v=y^2/x$ 相乘得 $uv = y^3$，故 $y = (uv)^{1/3}$。代入 $u=xy$ 得 $x = u/y = u^{2/3}v^{-1/3}$。计算雅可比行列式：
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{2}{3}u^{-1/3}v^{-1/3} & -\frac{1}{3}u^{2/3}v^{-4/3} \\ \frac{1}{3}u^{-2/3}v^{1/3} & \frac{1}{3}u^{1/3}v^{-2/3} \end{vmatrix} = \frac{1}{3v}.$$
公式：x = u^{2/3}v^{-1/3}, \quad y = u^{1/3}v^{1/3}, \quad |J| = \frac{1}{3v}
提示：计算雅可比时注意符号，最终取绝对值 $|J| = \frac{1}{3v}$。
步骤 3/5
目标：变换被积函数和积分区域
被积函数化为：$\frac{9x}{y^2(1+u)} = \frac{9u^{2/3}v^{-1/3}}{u^{2/3}v^{2/3}(1+u)} = \frac{9}{v(1+u)}$。面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{1}{3v}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。因此积分变为：
$$\iint_D \frac{9x}{y^2+xy^3}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{u=1}^3\int_{v=1}^3 \frac{9}{v(1+u)} \cdot \frac{1}{3v}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u = \int_1^3\int_1^3 \frac{3}{v^2(1+u)}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u.$$
公式：\frac{9x}{y^2+xy^3} = \frac{9}{v(1+u)}, \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{3v}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v
提示：注意被积函数化简时 $y^2$ 与 $x$ 的指数相消，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：分别对 $v$ 和 $u$ 积分
先对 $v$ 积分：
$$\int_1^3 \frac{3}{v^2}\,\mathrm{d}v = 3\left[-\frac{1}{v}\right]_1^3 = 3\left(-\frac{1}{3}+1\right) = 2.$$
再对 $u$ 积分：
$$\int_1^3 \frac{2}{1+u}\,\mathrm{d}u = 2\left[\ln(1+u)\right]_1^3 = 2(\ln4 - \ln2) = 2\ln2.$$
公式：\int_1^3 \frac{3}{v^2}\,\mathrm{d}v = 2, \quad \int_1^3 \frac{2}{1+u}\,\mathrm{d}u = 2\ln2
提示：积分时注意 $\int \frac{1}{v^2}\,\mathrm{d}v = -\frac{1}{v}$，以及 $\ln$ 的运算性质。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原二重积分的值为 $2\ln2$。
公式：\boxed{2\ln2}
提示：最终结果需化简，$\ln4-\ln2 = \ln2$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
二重积分的结果为 $2\ln 2$。
公式：\boxed{2\ln 2}
提示：最终答案应化简为最简形式，对数运算注意使用性质。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此原二重积分的值为 $2\ln 2$。
公式：\boxed{2\ln 2}
提示：最终结果应化简为最简形式。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
原积分 = $\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{9 \cdot 2 \cdot \pi}{4 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{18\pi}{72} = \frac{\pi}{4}$。
提示：计算时注意约分。
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