华中师范大学 2020年数学分析第0题

要证明 $g(\alpha)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛，首先需要明确一致收敛的定义。对于含参广义积分 $g(\alpha)=\int_0^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx$，一致收敛意味着：对任意 $\varepsilon>0$，存在一个与 $\alpha$ 无关的 $A>0$，使得对所有 $b>A$ 和所有 $\alpha\in[0,+\infty)$，有 $\left|\int_b^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx\right|<\varepsilon$。

应用 Weierstrass M-判别法。寻找一个与 $\alpha$ 无关的可积函数 $F(x)$，使得对所有 $\alpha\in[0,+\infty)$ 和足够大的 $x$（例如 $x\ge X_0$），有 $|f(x,\alpha)|\le F(x)$，并且 $\int_0^{+\infty} F(x)\,dx$ 收敛。常见的优函数形式如 $F(x)=\frac{1}{x^p}$（$p>1$）或 $F(x)=e^{-kx}$（$k>0$）。

检查所选 $F(x)$ 的广义积分是否收敛。例如，若取 $F(x)=\frac{1}{x^2}$，则 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}\,dx=1$ 收敛；若取 $F(x)=e^{-x}$，则 $\int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx=1$ 收敛。对于 $x$ 靠近0的部分，如果 $f(x,\alpha)$ 有界，则积分自然收敛。

由 $|f(x,\alpha)|\le F(x)$ 和 $\int_0^{+\infty} F(x)\,dx$ 收敛，根据 Weierstrass 判别法，含参积分 $\int_0^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx$ 在 $\alpha\in[0,+\infty)$ 上一致收敛。具体证明：对任意 $\varepsilon>0$，由 $\int_0^{+\infty} F(x)\,dx$ 收敛，存在 $A>0$ 使得 $\int_A^{+\infty} F(x)\,dx<\varepsilon$，则对所有 $b>A$ 和所有 $\alpha$，有 $\left|\int_b^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx\right|\le \int_b^{+\infty} |f(x,\alpha)|\,dx\le \int_b^{+\infty} F(x)\,dx<\varepsilon$。

将上述步骤整合为严谨的证明： 1. 由题设条件，存在可积函数 $F(x)$ 满足 $|f(x,\alpha)|\le F(x)$ 且 $\int_0^{+\infty} F(x)\,dx$ 收敛。 2. 对任意 $\varepsilon>0$，由 $\int_0^{+\infty} F(x)\,dx$ 收敛，存在 $A>0$ 使得 $\int_A^{+\infty} F(x)\,dx<\varepsilon$。 3. 对任意 $b>A$ 和任意 $\alpha\in[0,+\infty)$，有 $\left|\int_b^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx\right|\le \int_b^{+\infty} |f(x,\alpha)|\,dx\le \int_b^{+\infty} F(x)\,dx\le \int_A^{+\infty} F(x)\,dx<\varepsilon$。 4. 因此，由定义，$g(\alpha)=\int_0^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。

通过 Weierstrass 判别法，我们证明了 $g(\alpha)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。该结论依赖于存在一个与 $\alpha$ 无关的优函数 $F(x)$。如果题目中 $g(\alpha)$ 是函数项级数，则类似地使用级数形式的 Weierstrass 判别法。

由于 $[0,1]$ 上的积分显然一致收敛（被积函数连续且积分区间有限），而 $[1,+\infty)$ 上的积分由阿贝尔判别法一致收敛，因此整个积分 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x}\frac{\sin x}{x}\,dx$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。即 $g(\alpha)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。